集合论3 公理化—从罗素悖论到集合的公理化定义
罗素悖论
若把所有集合分为两类：第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素。
设第一类集合所组成的集合为\(P\)，第二类所组成的集合为\(Q\)。于是有： \(P=\{A |A \in A\}\)， \(Q=\{A |A \notin A\}\)。
试问，\(Q \in P\) 还是 \(Q \in Q\)
如果 \(Q \in P\)，那么根据第一类集合的定义，必定有\(Q \in Q\)，但是\(Q\)中任意集合都有\(A \notin A\)的性质，所以\(Q \notin Q\)，从而引出矛盾。
如果\(Q \in Q\)，根据第一类集合的定义，必有\(Q \in P\)，而显然\(P \cap Q = \empty\)，所以\(Q \notin Q\)，还是出现矛盾。
更为大家熟悉的通俗版本就是理发师悖论
理发师悖论
在某村，根据男人是否给自己刮胡子可以分为两类，一类是自己给自己刮胡子，另一类是自己不给自己刮胡子
理发师宣布了这样一条原则：他给且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子
那么请问，理发师给不给自己刮胡子？
为什么会出现这种问题呢？
康托认为，在于使用了太大的集合，也就是在描述对等类以及它们的总体并不符合集合的概念，也就是说不能把太大的集合看成一种集合。
具体来说,是由于康托构造集合所使用的概括原则有问题，他将集合表述为 有某种共同性质的元素合在一起可以构成集合，这种表述不够严谨。
怎么解决方法
一种是 策罗梅建立的ZF 公理化体系
另一种是 冯诺依曼建立的 NBG体系（N表示冯诺依曼，B表示贝纳斯，G表示哥德尔）
ZF系统与NBG系统的主要差别表示在排除悖论的范式
ZF系统中，通过限制集合产生的方式来达到目的，集合被限制在对数学必不可少的那些集合上
策罗梅认为康托集合论之所以产生悖论，是因为并非任何一些对象都成构成集合。因此，不能像康托那样不加限制地使用概括原则——无限抽象原则。而应该使用有限抽象原则。即对构成集合的元素加上限制条件，只有满足这个限制条件的元素才能构成一个集合。具体的做法就是利用一组公理来定义集合。
在冯诺依曼看来，悖论的产生是使用了“所有集合的集合”，所以他在集合与属于之外引入类作为不定义概念，类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素，这样就排除了 所有集合的集合 这种说法。
ZFC体系
ZFC集合论中的公理大致分为3组：
第一组： 外延公理
第二组： 子集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、替换公理。
第三组： 正则公理（或基础公理）、选择公理（Axiom of Choice记作 AC）。
第一组只有一个公理。
外延公理：对所有的集合A、B，A=B当且仅当对所有的x有，x∈A ⇔ x∈B。
它的作用是：把证明两个集合相等转化成了证明有相同的元素
第二组公理都是断言某种集合的存在性。
子集公理模式：我们回顾一下历史：康托认为，“内涵公理模式”——即 对所有的性质p(x)，{ x：p(x) }是集合成立。但这是错误的，是有其内在矛盾的，1901年被“罗素悖论”否定，罗素的反例是：取p(x)为“x∉x”，这样{ x：x∉x }会产生矛盾。后来，人们把内涵公理”修正为“子集公理模式”：对所有的性质p(x)，对所有的集合A，{ x∈A：p(x) }是集合。从而排除了具有内在矛盾的悖论。
子集公理模式说的是：如果我们有一个现成的集合A，那么我们就可以拿A中的元素作为“材料”用性质p(x)造出一个新的集合{ x∈A : p(x) }，因为{x∈A : p(x) }是A的子集，所以这个公理模式称作“子集公理模式”。
子集公理模式有重要的意义：它把“性质”实体化了。性质p(x)本是一个看不见摸不着的东西，但有了子集公理模式以后，我们用p(x)做成了一个集合{ x∈A : p(x) }（集合是我们的实体），它可以从局部完全地刻画p(x)的特征。这一点是集合论能够成为数学的基础的最根本的原因，其它的大多数形式系统，不能够把性质实体化，不具备研究性质的能力，因而不能成为数学的基础。
子集公理模式的作用：从已知的集合构造出新的集合。
无序对公理：对所有的集合A、B，{ A , B }是集合。
并集公理：对所有的集合A，{ x : 存在B∈A，使得x∈B }是集合（记作∪A）。
幂集公理：对所有的集合A，{ x ：x是A的子集 }是集合（记作P(A)）
无穷公理：ω={ n : n是自然数 }是集合。
在没有无穷公理的时候，我们只能看到序数宇宙呈现出下面的样子（n’表示n的后继）：
0，0'，0''，...
有了无穷公理之后，我们能看到序数宇宙呈现出下面的样子：
0，0'，0''，... ，ω，ω'，ω''，...
后面还有没有东西，我们就不知道了。
替换公理模式：对所有的类函数F，对所有的集合a，{F(x)：x∈a∩Dom(F)}是集合。
这个公理模式在直观上是对的，因为函数的值域的规模直观上只可能比定义域的小。有了这个公理模式之后，我们可以得到{0，0'，0''，... ω，ω'，ω''，...}={0，0'，0''，... }∪{ω，ω'，ω''，...}是集合。这个集合就是ω·2
第三组公理都是在否定某种集合的存在性。
正则公理：对所有的非空集合a，存在x∈a，x∩a=∅。换一种说法，这个公理是说：∈是任一集合上的良基关系。
选择公理（AC）：任何非空集合的集族上都有选择函数。直观的讲，就是能在这个集族里的每个集合中选取一个元素，“拼合”成一个新的元素。
ZFC公理化体系克服了罗素悖论，但是自身也存在问题
首先，哥德尔第一不完备性定理，说明 ZFC公理化系统是不完备的系统。例如，连续统假设的真伪在ZFC公理化系统中是不可判定的
其次，哥德尔第二不完备性定理，ZFC公理化系统的相容性是不能在该系统中得到证明的
NBG体系
数理逻辑入门(10) - 知乎 (zhihu.com)
