例题 6.2.32. 设 \(a,b>0\), 且反常积分 \(\int_0^{+\infty}f\left(ax+\frac bx\right)\) d \(x\) 收敛，证明：
\[\int_{0}^{+\infty}f\left(ax+\frac{b}{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\int_{0}^{+\infty}f(\sqrt{t^{2}+4ab})\:\mathrm{d}t.
\]
比较标准的考察换元技巧的题. 标答的方法个人觉得略繁琐，不够直观, 放在末尾。
解答：
由于在换元的时候，抽象函数内部的形式是不会随着运算而改变的，所以考虑直接令
\[\begin{align*}
\sqrt{t^{2}+4ab}&=ax+\frac{b}{x}\\
\Rightarrow t^{2}+4ab&=ax^{2}+2ab+\frac{b^{2}}{x^{2}}\\
t^{2}=ax^{2}-2ab+\frac{b^{2}}{x^{2}}&=(ax-\frac{b}{x})^{2}\\\Rightarrow t&=ax-\frac{b}{x}
\end{align*}
\]
这里手拆平方应该是要讨论一下的，但是显然不影响结论（应该）。然后直接令 \(t=ax-\frac{b}{x}\)，然而这时候我们发现很难得到 \(dx=\varphi(t)dt\) 这样的式子，所以考虑反过来，从右边往左边证明，我们有：
\[dt=(a+\frac{b}{x^{2}})dx\Rightarrow x\in(\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty).
\]
得到
\[\begin{aligned}&\Rightarrow\frac{1}{a}\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})*(a+\frac{b}{x^{2}})dx\\&=\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})+\frac{b}{a}\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})/x^2dx\\\end{aligned}
\]
这时候我们好像已经得出来我们想要的形式了，但是这个上下限好像不一样，缺了一块，但是我们有加和的形式，所以应该是后者可以恰好“弥补”这一块的缺失，算了一下之后发现，还真是啊，运用 \(\frac{b}{ax}=t\) 的换元可以恰好保持括号内的结构，并且上下限像拼图一样填补了这个空缺：
\[\begin{align*}
&=\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})dx-\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})d\frac{b}{xa}\\
&=\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{+\infty}f(ax+\frac{b}{x})dx+\int_{0}^{\sqrt{\frac{a}{b}}}f(ax+\frac{b}{x})dx\\
&=\int_{0}^{+\infty}f\left(ax+\frac{b}{x}\right)\mathrm{d}x
\end{align*}
\]
这就证明了这个等式。
接下来放一下扬哥的方法：
解答 . 一方面 , 对于 $$\int _{0}^{+ \infty }f\left ( ax+ \frac bx\right )$$ 记 $$u= ax+ \frac bx$$, 则 \(ax^{2}- ux+ b= 0\), 解得 $$x= \frac {u\pm \sqrt {u^{2}- 4ab}}{2a}$$ 于是根据分析可知
\[\int _{0}^{+ \infty }f\left ( ax+ \frac bx\right ) dx= \int _0^{\sqrt {\frac ba}}f\left ( ax+ \frac bx\right ) d x+ \int _\sqrt {\frac ba}^{+ \infty }f\left ( ax+ \frac bx\right )dx
\]
\[=\int_{+\infty}^{2\sqrt{ab}}f(u)\cdot\frac{1-\frac{u}{\sqrt{u^{2}-4ab}}}{2a}du+\int_2\sqrt{ab}^{+\infty}f(u)\cdot\frac{1+\frac{u}{\sqrt{u^{2}-4ab}}}{2a}du
\]
\[= \frac 1a\int _{2\sqrt {ab}}^{+ \infty }f ( u) \frac u{\sqrt {u^2- 4ab}}du
\]
另一方面，对于
\[\frac1a\int_{0}^{+\infty}f(\sqrt{t^{2}+4ab})dt
\]
, 若记 \(u=\sqrt{t^{2}+4ab}\), 则有 \(t=\sqrt u^{2}-4ab\), d \(t=\frac u{\sqrt{u^{2}-4ab}}\) d \(u\),
且\(t\in[0,+\infty)\)时\(,u\in[2\sqrt{ab},+\infty)\),进而
\[f(x)=\frac1a\int_{0}^{+\infty}f(\sqrt{t^2+4ab})dt=\frac1a\int_{2\sqrt{ab}}^{+\infty}f(u)\frac u{\sqrt{u^2-4ab}}du
\]
由上式可得
\[\int_0^{+\infty}f\left(ax+\frac bx\right)dx=\frac1a\int_{0}^{+\infty}f(\sqrt{t^{2}+4ab})dt
\]
