群论基础与 Burnside 引理与 Polya 定理 学习笔记

\(\text{群论基础与 Burnside 引理与 Polya 定理 学习笔记}\)

本文主要介绍 OI 中常用的群论部分，将会略过一些不必要的证明。

群论基础

群的定义

若集合 \(S\ne\varnothing\) 和 \(S\) 上二元运算 \(\cdot\) 构成代数结构 \(G(S,\cdot)\) 满足如下性质：

• 封闭性：\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\)。
• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\in S\)。
• 单位元：\(\exists e\in S,\forall a\in S,e\cdot a=a\cdot e=a\)。
• 逆元：\(\forall a\in S,\exists b\in S,a\cdot b=b\cdot a=e\)。

那么 \(G(S,\cdot)\) 是一个群。

置换群

置换

置换是有限集合到自身的双射。例如，集合 \(X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\) 上的置换可以表示为

\[\sigma=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_{p_1}&x_{p_2}&\cdots&x_{p_n}\end{pmatrix} \]

不难发现置换这一运算满足上述定义，因此集合 \(S\) 的所有置换构成了一个群。

轮换

轮换是一种特殊的置换。可以记作：

\[(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\\x_2&x_3&\cdots&x_n&x_1\end{pmatrix} \]

容易发现一个显然的性质：每一个置换都可以分解为若干互不相交的轮换的乘积。这里的互不相交指的是俩你哥哥集合之间没有相同的元素。因此对于置换操作，我们常常将其拆解为若干不相交的轮换来解决。

Burnside 引理

引理

我们定义 \(A,B\) 为两个有限集合，\(X=B^A\) 表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射，\(G\) 为作用在 \(A\) 上的一个置换群，\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合，那么 \(|X/G|\) 就是 \(G\) 作用在 \(X\) 上后产生不同结果的个数。有引理：

\[|X/G|=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g| \]

其中 \(X^g\) 表示 \(X\) 经过 \(g\) 这一置换后结果不改变的个数，称为 \(X\) 在 \(g\) 下的不动点。

需要留意的是当 \(X\subseteq B^A\) 时，Burnside 引理仍然成立。换句话说当题目给出的置换有限制条件，并不完整时，同样可以使用 Burnside 引理。

应用

有时要求 \(|X/G|\) 是困难的，但如果可以方便地计算每个置换下不动点的个数，就可以求出 \(|X/G|\) 了。

Pólya 定理

这是 Burnside 引理的特殊形式。表示为：

\[|X/G|=\frac 1{|G|}\sum_{g\in G}|B|^{c(g)} \]

\(c(g)\) 表示置换 \(g\) 可以拆出的不相交的轮换的数量。

需要留意的是 Pólya 定理当且仅当 \(X=B^A\) 成立时成立，也就是说题目中所给的映射必须是全集的映射，不能加以限制条件。