实分析课堂笔记 Chapter 2. 可测函数（更新至 2.2 节简单函数）

Chapter 2. 可测函数

2.1 可测函数

Definition 2.1（原像） 给定映射 \(f: X\rightarrow Y\)，它诱导了原像映射

\[f^{-1}: 2^X\rightarrow 2^Y, f^{-1}(E) = \{x\in X, f(x)\in E\}. \]

Remark 2.2

\[\begin{aligned} f^{-1}(\bigcup_{\lambda}E_\lambda) &= \bigcup_\lambda f^{-1}(E_\lambda) \\ f^{-1}(\bigcap_{\lambda}E_\lambda) &= \bigcap_\lambda f^{-1}(E_\lambda) \\ f^{-1}(E^c) &= [f^{-1}(E)]^c \\ \mathcal{N} \text{ is a }\sigma\text{-algebra on }Y&\Rightarrow f^{-1}(\mathcal{N}) \text{ is a }\sigma\text{-algebra on }X. \end{aligned} \]

Definition 2.3（$(\mathcal{M,N}) $-可测函数）若 \((X,\mathcal{M}), (Y,\mathcal{N})\) 是可测空间，称 \(f: X\rightarrow Y\) 是 \((\mathcal{M}, \mathcal{N})\)-可测函数如果 \(\forall E\in \mathcal{N}, f^{-1}(E)\in\mathcal{M}\)。

Remark 2.4 可测函数的复合仍为可测函数。

Proposation 2.5 若 \(\mathcal{N} = \mathcal{M(E)}\)，则 \(f: X\rightarrow Y\) 是 \((\mathcal{M,N})\)-可测函数如果 \(\forall E\in \mathcal{E}, f^{-1}(E)\in \mathcal{M}\)。

Proof：\(\Rightarrow\)：显然。

\(\Leftarrow\)：\(\{E\subset Y: f^{-1}(E)\in \mathcal{M}\}\) 是包含 \(\mathcal{E}\) 的 \(\sigma\)-代数。

Corollary 2.6 若 \((X,\tau_1)\) 和 \((Y,\tau_2)\) 是拓扑空间，则若 \(f:X\rightarrow Y\) 连续，则 \(f\) 是 \((\mathcal{B}_X,\mathcal{B}_Y)\)-可测函数。

Proof：\(\mathcal{B}_Y = \mathcal{M}(\tau_2)\)，且 \(\forall U\in \tau_2, f^{-1}(U)\in \tau_1\subset \mathcal{B}_X\)。由 Proposation 2.5 立即可得。

Definition 2.7（\(\mathcal{M}\)-可测函数）若 \((X,\mathcal{M})\) 是可测空间，则称 \(f: X\rightarrow \mathbb{R}(\mathbb{C})\) 为 \(\mathcal{M}\)-可测函数如果 \(f\) 是 \((\mathcal{M}, \mathcal{B}_\mathbb{R})\)-可测函数。

Example 2.8 \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}\) 是勒贝格可测的如果 \(f\) 是 \((\mathcal{L}, \mathcal{B}_\mathbb{C})\)-可测的。

Remark 2.9 \(f\circ g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 是 Borel 可测的，如果 \(f\) 和 \(g\) 都是 Borel 可测的；但 \(f\circ g\) 不一定是 Lebesgue 可测的，如果 \(f\) 和 \(g\) 都是 Lebesgue 可测的。

Proposation 2.10 给定可测空间 \((X,\mathcal{M})\) 和函数 \(f: X\rightarrow \mathbb{R}\)，则以下等价：

• \(f\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的

• \(f^{-1}((a,\infty))\in \mathcal{M}, \forall a\in \mathbb{R}\)

• \(f^{-1}([a,\infty))\in \mathcal{M}, \forall a\in \mathbb{R}\)

Proof：1 推 2、3 显然；若 2 或 3 成立，因为 \(\mathcal{M}(\{(a,\infty):a\in\mathbb{R}\}) = \mathcal{B}_\mathbb{R}\)，所以 1 成立。

Definition 2.11

• 若 \(f: X\rightarrow \mathbb{R}, E\in \mathcal{M}\subset 2^X\)，则称 \(f\) 在 \(E\) 上可测（等价于 \(f\) \(\mathcal{M}_E\)-可测）如果 \(f^{-1}(B\cap E)\in \mathcal{M}, \forall B\in \mathcal{B}_\mathbb{R}\)。

• 给定 \(X\)，集合列 \(\{(Y_\alpha, \mathcal{N}_\alpha)\}_{\alpha\in A}\) 和函数列 \(f_\alpha: X\rightarrow Y_\alpha\)，则称 \(\{f_\alpha\}\) 生成的最小 \(\sigma\)-代数为由 \(\{f_{\alpha}^{-1}(E_\alpha): E_\alpha\in \mathcal{N}_\alpha, \alpha\in A\}\) 生成的 \(\sigma\)-代数。

Remark 2.12 若 \(X = \prod_{\alpha\in A}Y_\alpha\)，则 \(X\) 上的乘积 \(\sigma\)-代数 \(\otimes_{\alpha\in A}\mathcal{N}_\alpha\) 是由投影映射 \(\{\pi_\alpha: X\rightarrow Y_\alpha|\alpha\in A\}\) 生成的最小 \(\sigma\)-代数。

Proposation 2.13 给定 \((X,\mathcal{M}), \{(Y,\mathcal{N}_\alpha)\}_{\alpha\in A}\)，若 \(Y = \prod_{\alpha\in A}Y_\alpha, \mathcal{N} = \otimes_{\alpha\in A} \mathcal{N}_\alpha\)，则 \(f: X\rightarrow Y\) 是 \((\mathcal{M,N})\)-可测的当且仅当对所有 \(\alpha\)，\(f_\alpha\) 是 \((\mathcal{M,N_\alpha})\)-可测的。

Proof：\(\Rightarrow\)：显然；

\(\Leftarrow：\)因为 \(f_\alpha\) 可测，所以对任意 \(E_\alpha\in \mathcal{N}_\alpha\)，\(f^{-1}(\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha))\in \mathcal{M}\)。

又因为 \(\mathcal{N} = \mathcal{M}(\{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha): E_\alpha\in \mathcal{N}_\alpha, \alpha\in A\})\)，所以 \(f\) 是可测函数。

Corollary 2.14 \(f: X\rightarrow \mathbb{C}\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的当且仅当 \(\mathrm{Re}f\) 和 \(\mathrm{Im}f\) 都是 \(\mathcal{M}\)-可测的。

Definition 2.15（广义实数）记 \(\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,+\infty]\)。定义 \(\mathcal{B}_\mathbb{R} = \{E\subset \overline{\mathbb{R}}: E\cap \mathbb{R}\in \mathcal{B}_\mathbb{R}\}\)。称 \(f: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的如果 \(f\) 是 \((\mathcal{M}, \mathcal{B}_\overline{\mathbb{R}})\)-可测的。

Remark 2.16 \(f:X\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\) 是可测的当且仅当 \(f^{-1}(\{\pm\infty\})\in \mathcal{M}\) 且 \(f\) 在 \(f^{-1}(\mathbb{R})\) 上可测。

Proposation 2.17 若 \(f,g: X\rightarrow \mathbb{C}\) 是 \(\mathcal{M}\)-可测的，则 \(f+g,f-g,fg,f/g\) 可测。

Proof：乘积空间的函数可测，四则运算可测，故复合可测。

Remark 2.18 上面的结论对 \(f: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) 也成立。

Proposation 2.19 若 \(\forall j\in \mathbb{N}, f_j: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) 可测，则

\[g_1(x) = \sup_j f_j(x), g_2(x) = \inf_j f_j(x), g_3(x) = \limsup_j f_j(x), g_4(x) = \liminf_j f_j(x) \]

都可测。

Proof：因为 \(g_1^{-1}((a,\infty]) = \cup_j f_j^{-1}((a,\infty])\)，所以 \(g_1\) 可测；

因为 \(\inf_j f_j = \sup_j (-f_j)\)，所以 \(g_2\) 可测。

因为 \(\limsup_j f_j = \inf_k\sup_{j\leq k}f_j\)，所以 \(g_3,g_4\) 可测。

Corollary 2.20

• 若 \(f,g: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) 可测，则 \(\max\{f,g\},\min\{f,g\}\) 均可测。
• 若 \(f_j: X\rightarrow C\) 可测，且 \(f(x) = \lim_{j\rightarrow \infty} f_j(x), \forall x\in X\) 存在，则 \(f\) 可测。

Definition 2.21（正部和负部）设 \(f: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f^+(x) = \max\{f(x),0\}, f^-(x) = \max\{-f(x),0\}\)。且 \(f = f^+ - f^-\)。

Definition 2.22（极坐标分解）设 \(f: X\rightarrow \mathbb{C}\)，则其极坐标分解为 \(f = (\text{sgn} f)|f|\)，其中

\[\text{sgn}z = \begin{cases} \frac z{|z|}, & z\neq 0 \\ 0, & z=0 \\ \end{cases} \]

Remark 2.23 若 \(f: X\rightarrow \mathbb{C}\) 可测，则 \(\text{sgn}f, |f|\) 可测。

2.2 简单函数

Definition 2.24（特征函数）设 \(E\subset X\)，定义其特征函数为

\[\chi_E(x) = \begin{cases} 1, & x\in E, \\ 0, & x\notin E. \end{cases} \]

Definition 2.25（简单函数）设 \(f: X\rightarrow \mathbb{C}\)，称 \(f\) 是简单函数如果

\[f(x) = \sum_{j=1}^\infty z_j\chi_{E_j}, E_j\in \mathcal{M}, Z_j\in \mathbb{C}, z_j\neq z_k\forall j\neq k. \]

Remark 2.26

• \(\chi_E\) 可测当且仅当 \(E\in \mathcal{M}\)。
• \(f,g\) 是简单函数 \(\Rightarrow f\pm g, fg\) 是简单函数。