采样与FFT注意事项

news/2025/3/16 17:59:26/文章来源:https://www.cnblogs.com/Skyrim-sssuuu/p/18775072

一、采样过程

1、混叠 (\(Aliasing_{}\))

原因

采样频率 \(f_{s}\) 不满足奈奎斯特采样定理(\(f_{s}\) < \(2f_{max}\)\(f_{max}\) 为信号最高频率)

现象

高频信号被误认为低频信号,频谱发生折叠。当手机以 15 帧/秒(采样频率 15Hz)拍摄每秒转 10 圈的电风扇时(信号频率 10Hz),因采样率未达奈奎斯特标准(需 ≥ 20Hz),叶片每帧仅转动 240°,人眼误将其 “跳跃” 视为逆时针 120°,导致高速正转的风扇在画面中呈现低速反转 —— 这就是高频信号因采样不足 “伪装” 成低频信号的混叠现象,类似数码相机拍旋转物体出现的 “伪影” 本质。(核心:采样率不足时,高频会被误判为低频,生活中常见于视觉暂留场景)。

影响

信号失真,无法还原原信号。

解决方法

  1. 采样前添加抗混叠滤波器(低通滤波器)。

  2. 使用更高采样率,保证 \(f_{s}\) > \(2f_{max}\)

2、欠采样 (\(Non-uniform Sampling_{}\))

原因

欠采样(Undersampling)其实是一种采样策略,指采样频率低于信号最高频率的两倍(即奈奎斯特采样定理的要求),或在数据集中主动减少多数类样本以平衡数据分布的方法。通俗来说,就是“采样太稀疏”,漏掉了高频细节,高频变为了低频。

原理

  • 非均匀性:采样间隔 Δt 不固定,可能是随机的(如泊松采样)、周期性变化的(如交替疏密),或根据信号实时调整的(如自适应采样)。
  • 打破奈奎斯特限制:传统均匀采样需满足 “采样率≥2 倍最高频率”,但非均匀采样通过稀疏表示 / 压缩感知理论,允许以低于奈奎斯特率的采样率重建信号(前提是信号具有稀疏性)。

现象

混叠:高频信号被 “折叠” 成低频噪声(如 44.1kHz 采样率下,25kHz 信号会被误现为 19.1kHz)

优点

  1. 节省采样点数(降低成本)

  2. 保留关键细节(如突变信号)

  3. 适合稀疏信号高效采集

缺点

  1. 重建算法复杂(需专用插值 / 恢复技术)

  2. 对噪声敏感,需抗干扰设计

  3. 理论分析依赖信号先验(如稀疏性)

二、FFT运算

频谱泄漏 (\(Spectral Leakage_{}\))

原因

频谱泄露源于信号截断与非整周期采样。当对连续信号进行离散采样时,若截取的信号长度不是信号周期的整数倍(非整周期截断),或采样频率与信号频率不同步,时域截断会等效于信号与矩形窗函数相乘。矩形窗的频域响应是 sinc 函数,其旁瓣能量向周边频率扩散,导致本应集中的单频信号在频谱中 “泄露” 到其他频率点。本质是时域有限截断破坏了频域的无限连续性

例如,信号频率为50Hz,使用950Hz采样频率进行采样,那么一个周期采样点数 \(N_{s} = 19\) 点(故意少采 1 点),\(截断长度 = \frac{19}{1000} = 0.019 秒\),非 50Hz 周期(0.02 秒)的整数倍。

(对 50Hz 工频信号采样,但采样时长不是 20ms 的整数倍(如采样 10 个周期,时长 200ms))。

现象

频谱中 50Hz 主瓣能量泄漏到邻近频点(如49Hz、51Hz),出现虚假谐波。

影响

幅值测量不准确,幅值测量偏高(旁瓣能量叠加);频率分辨率下降,频率识别错误(如误判谐波次数)。

解决方法

  1. 整周期采样:确保采样点数 N 是信号周期 T 的整数倍(\(N = kT・fs_{}\)),从源头避免截断误差。

  2. 加窗处理:用汉宁窗、布莱克曼窗等替代矩形窗,通过降低旁瓣能量抑制泄露(代价:主瓣展宽,频率分辨率下降)。

  3. 增加采样点数:提高 FFT 点数(如补零),细化频谱间隔,减少栅栏效应间接缓解泄露。

栅栏效应 (\(Picket Fence_{}\))

原因

FFT 的频率轴是离散网格,由采样率 \(f_{s}\) 和采样点数 \(N_{}\) 决定,频率间隔(分辨率)为 \(\Delta f=\frac{f_{s}}{N}\)。只有当信号频率 \(f_{0}=k・\Delta f\) 时,谱线才会精准落于离散点(如 \(fft_{}\)\(k_{}\) 根谱线)。若 \(f_{0}\) 不满足此条件,真实谱峰将位于两根谱线之间,如同被 “栅栏” 遮挡,只能观测到相邻离散点的幅值。

现象

真实频率可能落在两个离散点之间,导致幅值估计误差。

影响

无法精确检测频率和幅值。

解决方法

  1. 提高频率分辨率:增加采样点数 \(N_{}\) 或者减小采样频率 \(f_{s}\) ,例如采样 3000 个点,$\Delta f=1Hz $,消除栅栏效应。

  2. 插值矫正:通过相邻谱线幅值比例反推真实频率(如三点插值法,误差可降至 \(\frac{\Delta f}{10}\) 以下)。

  3. 同步采样:使 \(f_{0}\)\(\Delta f\) 的整数倍。

  4. ZOOM FFT(细化快速傅里叶变换):在不增加采样点数的前提下,通过频移、滤波和降采样,对目标频带进行局部细化,使该区域的频率分辨率显著提升。

栅栏效应与频谱泄露的区别

现象 核心原因 具体表现
栅栏效应 信号频率 \(f_{0}\) 与离散频率点 \(\Delta f\) 不对齐(不可整除) 谱峰位置偏移,幅值被低估
频谱泄露 非整周期截断导致能量扩散(采样时长不是 \(\frac{1}{f_{0}}\) 的整数倍) 旁瓣出现,能量跨频率扩散
关联 常同时发生(非整周期→不对齐 + 泄露) 案例中双峰 + 旁瓣并存

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