数分笔记2

目录

• 数项级数
  • 敛散性
    • 定义·敛散性
      • 例：等比级数（几何级数）
    • 定理（级数 \(\sum a_n\) 的 Cauchy 收敛准测）
      • 例：\(p\)-级数（\(p>0\)，实常数）
    • 命题·“线性性”
    • 定义·余项
  • 正项级数
    • 定义·正项级数
    • 定理·正项数列收敛的充要条件
    • 定理（比较原则）
    • D'Alembert（达朗贝尔判别法）（比式（比值）判别法）
    • 柯西判别法（根式判别法）
    • 积分判别法
    • 收敛与发散的“快慢”问题
  • 一般项级数
    • 交错级数
      • 莱布尼兹判别法
    • 绝对收敛
    • 级数的重排
    • 级数的乘积
    • Abel 变换
      • Abel 引理
    • Direchlet 判别法
      • Abel 判别法
• 函数列与函数项（及数的一致收敛性及其判定）
  • 函数列的一致收敛性及其判定
    • 定义·点态收敛
    • 定义·一致收敛
      • \(\{a_n(x)\}\) 一致收敛的 Cauchy 准则
      • \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛的两个充要条件
    • 定义·内闭一致收敛
  • 函数项级数
    • 定义·点态收敛
    • 定义·一致收敛
    • 定义·内闭一致收敛
    • 函数项级数一致收敛的 Cauchy 准则
    • 函数项级数一致收敛性的若干判别法
  • 一致收敛函数列与函数项级数的性质
    • 函数列性质·连续性
    • 函数项级数性质·连续性
    • 函数列性质·可积性
    • 函数项级数性质·可积性
    • 函数列性质·可导性
    • 函数项级数性质·逐项可导性
    • 函数项级数性质·逐项可积性
  • 幂级数
    • Abel（第一）定理
    • 收敛半径的存在性定理
    • 定理（柯西—阿达马 定理）
    • 幂级数的性质
    • 幂级数的运算与收敛半径
  • 函数的幂级数展开
    • 定义·能展开成幂级数
    • 命题·展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\) 的一个必要条件
    • 定义·Taylor 级数
    • 命题· \(f\) 能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的一个充要条件

数项级数

设 \(\{a_n\}\) 是一个实数列，则称 \(a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\) 为一个无穷（数项）级数，简称为级数，简记作 \(\sum_\limits{n=1}^\limits{+\infin}a_n\) 或 \(\sum a_n\).（表达式被称为级数，数列应该有可数个数，有限多项相加可以看作后面加了 \(0\) 的无穷级数，双边数列 \(\sum_\limits{n=-\infin}^\limits{+\infin}a_n\)）

\(\forall n\in \Z^+\)，称 \(\sum_{k=1}^na_k\) 为级数 \(\sum a_n\) 的前 \(n\) 项和（或第 \(n\) 个部分和），记作 \(S_n\left(=\sum_{k=1}^na_k\right)\)，称数列 \(\{S_n\}\) 是 \(\sum a_n\) 的部分和数列。

敛散性

定义·敛散性

若 \(\sum a_n\) 的部分和数列 \(\{S_n\}\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 收敛。

\(\sum a_n\) 收敛时，若 \(\lim_{n\to +\infin} S_n=S\in\R\)，则称 \(\sum a_n\) 的和为 \(S\)；否则，称 \(\sum a_n\) 发散。

例：等比级数（几何级数）

设 \(a\in\R-\{0\},q\in\R\)（约定 \(0^0=1\)）

称 \(\sum_{n=1}^{+\infin}aq^{n-1}\) 为一个等比级数。

\[S_n=\sum_{k=1}^{n}aq^{k-1}=a(1+q+\dots+q^{n-1})= \begin{cases} n\cdot a&,q=1\\ \frac{a(1-q^{n})}{1-q}&,q\neq 1 \end{cases} \]

当 \(|q|<1\) 时，\(\lim_{n\to+\infin}S_n=\frac{a}{1-q}\)，故此时 \(\sum aq^{n-1}\) 收敛于 \(\frac{a}{1-q}\)；当 \(|q|\ge 1\) 时，\(\sum aq^{n-1}\) 发散。

定理（级数 \(\sum a_n\) 的 Cauchy 收敛准测）

\[\sum a_n 收敛 \Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall p\in \Z^+，有 |a_{n+1}+\dots+a_{n+p}|<\epsilon \]

例：\(p\)-级数（\(p>0\)，实常数）

\[\sum\frac1{n^p} \]

• \(p=1\) 时，称 \(\sum\frac1n\) 为调和级数

  用 Cauchy 收敛准则证明发散：

  \(\exist \epsilon_0=\frac14,\forall N\in\Z^+,\exist n_N=2N,p_N=N\)，使得：

  \[|\frac1{2N+1}+\dots+\frac{1}{3N}|\ge N \times \frac{1}{3N}>\epsilon_0=\frac1{4} \]

• 若 \(p\in(0,1)\)，则 \(\forall n\in\Z^+,\frac{1}{n^p}\ge \frac1n\)，故此时，\(\sum\frac1{n^p}\)发散。

• 若 \(p>1\)，\(S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^p}\).

  \(x^{-p}\) 在 \([n,n+1]\) 上 \(\downarrow\)，所以 \(n^{-p}\le x^{-p},\forall x\in[n-1,n]\)

  \[ \begin{aligned}&\int_{n-1}^{n}n^{-p}\mathrm dx\le\int_{n-1}^{n}x^{-p}\mathrm dx\Rightarrow n^{-p}\le\int_{n-1}^{n}x^{-p}\mathrm dx\\\therefore&S_n\le1+\int_{1}^{n}x^{-p}\mathrm dx=1+\frac{n^{1-p}-1}{1-p}<1+\frac{1}{p-1}=\frac{p}{p-1}\end{aligned} \]

  所以 \(S_n\) 单增有上界，故收敛。

• \(p=2\) 时：

  \[\sum \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \]

命题·“线性性”

设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 收敛，\(c,d\in\R\)，则 \(\sum(c\cdot a_n+d\cdot b_n)\) 也收敛，且 \(\sum(c\cdot a_n+d\cdot b_n)的和\) 等于 \(c\cdot\left(\sum a_n 的和\right)+d\cdot \left(\sum b_n 的和\right)\)。（严格来说无穷级数只是表达式，但是也可以不写 的和）

换句话说，当 \(\sum a_n\) 收敛时，具有某种线性性。

定义·余项

若 \(\sum a_n\) 收敛于 \(S\)，则称 \(r_n=S-\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=n+1}^{+\infin}a_k\) 为 \(\sum a_n\) 的第 \(k\) 个余项。

正项级数

定义·正项级数

设 \(\sum a_n\) 是一个级数，若 \(\forall n\in\Z^+,a_n\ge 0\)，则称 \(\sum a_n\) 为一个正项级数；若 \(a_n>0\)，则称为严格正项级数。

定理·正项数列收敛的充要条件

设 \(\sum a_n\) 是一个正项级数，则 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{\sum_{k=1}^{n}a_n\}\) 有上界。

定理（比较原则）

设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 是两个正项级数，

若 \(\exist k>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\) 有 \(a_n\le kb_n\)，则有：

1. 若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛。
2. 若 \(\sum a_n\) 发散，则 \(\sum b_n\) 也发散。

推论（比较判别法的极限形式）：设 \(\sum a_n\) 为正项级数，\(\sum b_n\) 为严格正项级数，且 \(\lim_{n\to+\infin}\frac{a_n}{b_n}=l\)，则有：

1. 若 \(l\in(0,+\infin)\)，则 \(\sum a_n\) 与 \(\sum b_n\) 同敛散：

   可以证明 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N,a_n<\frac{3l}{2}b_n,b_n<\frac{2}{l}a_n\) 从而上述结论成立。

   例：

   \[\lim_{n\to +\infin}\frac{\frac{1}{2^n-n}}{\frac{1}{2^n}}=1\Rightarrow同收敛\\ \lim_{n\to +\infin}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\Rightarrow 同发散\\ \]

2. 若 \(l=0\)，则若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛：

   可证 \(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1,\frac{a_n}{b_n}<1\).

3. 若 \(l=+\infin\)，则若 \(\sum b_n\) 发散，则 \(\sum a_n\) 也发散：

   可证 \(\forall G>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\) 有 \(\frac{a_n}{G}>b_n\).

D'Alembert（达朗贝尔判别法）（比式（比值）判别法）

设 \(\sum a_n\) 是一个严格正项级数，若 \(\exist N_0\in \Z^+\)，及常数 \(q\in(0,1)\)，使得：

1. \(\forall n>N_0\)，成立 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\le q\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。

   证：任取 \(m>N_0\)，\(\frac{a_{m+1}}{a_{N_0+1}}\le q^{m-N_0}\)，故 \(a_{m+1}\le a_{N_0+1}q^{1-N_0}q^{m-1}\)，其中 \(a_{N_0+1}q^{1-N_0}\) 是常数，右边收敛。

2. \(\forall n>N_0\)，成立 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\)，则 \(\sum a_n\) 发散：

   显然，因为 \(a_n\ge a_{N_0}>0\).

推论：（比式判别法的极限形式）

设 \(\lim_{n\to +\infin}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l\)，则有

1. 若 \(0\le l<1\)，则 \(\sum a_n\) 必收敛

   取 \(\epsilon=\frac{1-l}{2}>0\)，则 \(\exist N_0\in\Z^+,\forall n>N_0\)，有 \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-l\right|<\frac{1-l}{2}\)，所以 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}<l+\frac{1-l}{2}=\frac{1+l}{2}<1\).

2. 若 \(1<l<+\infin\) 或 \(l=+\infin\)，则 \(\sum a_n\) 必发散。

   取 \(\epsilon=\frac{l-1}{2}\)，其余类似。

3. 若 \(l=1\)，则需进一步判定：

   例 \(a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n^2}\) 均满足第三点，但前者发散后者收敛。

例：设 \(x>0\) 为实常数，讨论 \(\sum nx^{n-1}\) 的敛散性.

解：令 \(a_n = nx^{n-1}\)，有：

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n}x\to x(n\to +\infin) \]

​ 于是由比式判别法得：当 \(x<1\) 时，\(\sum nx^{n-1}\) 收敛。当 \(x>1\) 时，发散。当 \(x=1\) 时，\(\sum n\) 发散。

柯西判别法（根式判别法）

比比式判别法更强（见例 7）

设 \(\sum a_n\) 为正项级数，若 \(\exist N_0\in\Z^+\) 及常数 \(l\)，则有

1. 又若 \(\forall n > N_0\)，成立 \(\sqrt[n]{a_n}\le l < 1\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
2. 又若 \(\forall n>N_0\)，成立 \(\sqrt[n]{a_n}\ge 1\)，则 \(\sum a_n\) 发散。

根式判别法的极限形式：设 \(\sum a_n\) 为正项级数，且 \(\lim_{n\to +\infin}\sqrt[n]{a_n}=l\)，则有：

1. 若 \(0\le l < 1\)，则 \(\sum a_n\) 收敛。
2. 若 \(l > 1\) 或 \(l=+\infin\)，则 \(\sum a_n\) 发散。
3. 若 \(l = 1\)，则需进一步判定。

例 7：讨论 \(\sum\frac{2+(-1)^n}{2^n}\) 的敛散性。

解：令 \(a_n=\frac{2+(-1)^n}{2^n}\)，则有：

\[\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}}\le\sqrt[n]{a_n}\le\sqrt[n]{\frac{3}{2^n}} \]

​ 夹逼法可得 \(\lim_{n\to+\infin}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}\)，故收敛。

\[n!\sim \sqrt{2\pi n}\left({\frac{n}{e}}\right)^n \]

积分判别法

设 \(f\) 在 \([1,+\infin)\) 上单调递减，则正项级数 \(\sum f(n)\) 与反常积分 \(\int_1^{+\infin} f(x)\mathrm dx\) 同敛散。

（可用于证明 \(p\) 级数 \(\sum\frac1{n^p}\) 的敛散性）

证：\(\sum f(n)\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\int_1^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛

\(\because f\) 在 \((0,+\infin)\) 单减，所以 \(\forall A>1\)，\(f\) 在 \([1,A]\) 上可积.

且有 \(\forall n=2,3,\dots\)，有 \(f(n)\le \int_{n-1}^{n}f(x)\mathrm dx\le f(n-1)\).

任取 \(m=3\in\Z^+-\{1\}\)，有 \(\sum_{n=2}^{m}f(n)\le \int_{1}^{m}f(x)\mathrm dx\le \sum_{n=1}^{m-1}f(n)\).

设 \(\sum f(n)\) 的部分和为 \(S_m=\sum_{n=1}^{m}f(n)\)，由上述不等式得：

\[S_m-f(1)\le \int_1^m f(x)\mathrm dx\le S_{m-1},m\in[2,+\infin)\cap\Z\\ \]

从而有：

• 若 \(\int_1^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛于 \(\tilde J\in\R\)，则 \(\forall m\ge 2,S_m\le f(1)+\int_1^{m}f(x)\mathrm dx\)（不妨设 \(f\) 非负，其实有负数也可证），\(S_m\le \tilde J+f(1)\)，则 \(\sum f(n)\) 收敛（\(S_m\) 单增有上界）。
• 若 \(\sum f(n)\) 收敛，设 \(S_m\to \tilde S\)，\(\int _1^{m}f(x)\mathrm dx\le S_{m-1}\le S\)，单增有上限收敛。

收敛与发散的“快慢”问题

1. 收敛：

   设 \(\sum c_n,\sum\tilde c_n\) 是两个收敛的严格正项级数。

   定义：若 \(\sum \tilde c_n\) 的余项数列 \(\{\tilde R_n\}\) 比起 \(\sum c_n\) 的余项数列 \(\{\tilde R_n\}\) 是更低阶的无穷小量，即

   \[\lim_{n\to+\infin}\frac{R_n}{\tilde R_n}=0 \]

   则称 \(\sum \tilde c_n\) 比 \(\sum c_n\) 收敛得更慢。

   构造比已有收敛的严格正项级数 \(\sum c_n\) 收敛得更慢的正项级数：

   设 \(R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infin}c_n(n\ge 0)\)，

   \(\forall n\in \Z^+,\tilde c_n = \sqrt{R_{n-1}}-\sqrt{R_n}\)，\(\sum_{n=1}^{+\infin}\tilde c_n\) 收敛于 \(\sqrt{R_0}\)。

   \(\tilde S_n=\sqrt{R_0}-\sqrt{R_n},\tilde R_n=\sqrt{R_n}\)，因此 \(\sum\tilde c_n\) 收敛更“慢”。

2. 发散：

   设 \(\sum d_n,\sum \tilde d_n\) 是两个发散的严格正项级数，部分和数列分别记作 \(D_n,\tilde D_n\).

   定义：若 \(\{\tilde D_n\}\) 是比 \(\{D_n\}\) 更低阶的无穷大量，即

   \[\lim_{n\to +\infin}\frac{\tilde D_n}{D_n}=0 \]

   则称 \(\sum \tilde d_n\) 比 \(\sum d_n\) 发散得更慢。

   构造发散得更慢的严格正项级数：\(\tilde D_n=\sqrt{D_n}\).

一般项级数

交错级数

设 \(\{u_n\}\) 是一个正项数列，则称 \(\sum(-1)^{n-1}u_n\) 或 \(\sum(-1)^{n}u_n\) 为交错级数。

莱布尼兹判别法

设 \(u_n>0\)，\(\sum (-1)^{n-1}u_n\) 是一个交错级数，满足：

1. \(\{u_n\}\) 单调递减.
2. \(\lim_{n\to+\infin}u_n=0\).

则 \(\sum(-1)^{n-1}u_n\) 收敛。（反之不一定成立）

证：设 \(\sum (-1^{n-1})u_n\) 的部分和数列是 \(\{S_n\}\).

\[\begin{aligned} \forall m\in\Z^+,&S_{2m-1}=u_1-(u_2-u_3)-\dots -(u_{2m-2}-u_{2m-1})\le u_1\\ &S_{2m}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\dots+(u_{2m-1}-u_{2m})\ge 0\\ &0\le S_{2m}=S_{2m-1}-u_{2m}\le S_{2m-1}\le u_1 \end{aligned} \]

所以 \(\{S_{2m}\},\{S_{2m-1}\}\) 均有界。

又 \(\{S_{2m}\}\) 单调递增，\(\{S_{2m-1}\}\) 单调递减，由单调有界定理知，二者均收敛，设 \(\lim_{m\to+\infin}S_{2m-1}=S\)，则 \(\lim_{m\to+\infin}S_{2m}=\lim_{m\to+\infin}(S_{2m-1}-u_{2m})=S-0=S\).

于是知 \(\{S_n\}\) 收敛，且 \(\lim_{n\to+\infin}S_n=S\)，得证。

余项估计：

\[|R_n|=|\sum_{k=n+1}^{+\infin}(-1)^{k-1}u_k|\le u_{n+1} \]

例：\(1-\frac{1}2+\frac13-\frac14+\dots=\ln2\).

绝对收敛

设 \(\sum a_n\) 是一个无穷级数

• 若 \(\sum|a_n|\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 绝对收敛。

  命题：若 \(\sum a_n\) 绝对收敛，则 \(\sum a_n\) 收敛。

  例：\(\sum(-1)^{n-1}\frac1{n^2}\).

• 若 \(\sum|a_n|\) 发散，而 \(\sum a_n\) 收敛，则称 \(\sum a_n\) 是条件收敛的。

  例：\(\sum (-1)^{n-1}\frac1n\).

级数的重排

1. 定义：设 \(\sigma:\Z^+\to\Z^+\) 是一个双射，称 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum a_{n}\) 的一个重排。

2. 定理（性质）若 \(\sum a_n\) 是绝对收敛的，则 \(\sum a_n\) 的任意一个重排 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 也是绝对收敛的，且有 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 的和等于 \(\sum a_n\) 的和，简记作 \(\sum a_{\sigma(n)}=\sum a_n\).

   证：

   1. 若 \(\sum a_n\) 为正项级数，且 \(\sum a_n\) 收敛，则

      \(\forall N\in\Z^+\)，有 \(\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}\le \sum_{n=1}^{+\infin}a_n\)，故 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 也收敛，

      从而 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 绝对收敛，且有 \(\sum_{k=1}^{+\infin} a_{\sigma(k)}\le \sum a_n\)，

      又 \(\sum a_n\) 是 \(a_{\sigma(n)}\) 的一个重排，故 \(\sum a_n\le \sum a_{\sigma(n)}\)，从而有 \(\sum a_n=\sum a_{\sigma (n)}\).

   2. 设 \(\sum a_n\) 是一个绝对收敛的一般项级数，令 \(\forall n\in \Z^+,p_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}\ge 0,q_n=\frac{|a_n|-a_n}{2}\ge 0\)，

      从而有 \(a_n=p_n-q_n, |a_n|=p_n+q_n\)，且有 \(0\le p_n,q_n\le |a_n|\)，

      从而知 \(\sum p_n,\sum q_n\) 均收敛。

      设 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum a_{n}\) 的任意一个重排，

      于是有 \(\sum p_{\sigma (n)}\) 是 \(\sum p_n\) 的一个重排，\(\sum q_{\sigma(n)}\) 是 \(\sum q_n\) 的一个重排，

      又 \(a_{\sigma(n)} = p_{\sigma(n)} - q_{\sigma(n)},|a_{\sigma(n)}|=p_{\sigma(n)} - q_{\sigma(n)}\)，

      从而知 \(\sum p_{\sigma(n)},\sum q_{\sigma(n)}\) 收敛，且 \(\sum p_{\sigma(n)} = \sum p_n,\sum q_{\sigma(n)} = \sum q_{n}\)，

      故 \(\sum |a_{\sigma(n)}|\) 收敛且 \(\sum a_{\sigma(n)} = \sum p_{\sigma(n)}-\sum q_{\sigma(n)}=\sum p_n-\sum q_{n} = \sum a_{n}\).

   注意：条件收敛可能不成立！

   例：\(\sum(-1)^{n-1}\frac1n=\ln 2\).

   解：设 \(H_n=\sum_{i=1}^{n}\frac1k\)，则 \(\lim_{n\to +\infin} (H_n-\ln n) = c\)（欧拉常数），

   令 \(\gamma_n = H_{n} - \ln n - c\)，则

   \[\forall m\in \Z^+, \frac12+\frac14+\frac16+\dots+\frac1{2m}=\frac{1}2(\gamma_m+\ln m +c)\\ \forall k\in\Z^+,1+\frac13+\frac15+\dots+\frac{1}{2k-1}=H_{2k} - \frac12 H_k = \gamma_{2k}-\frac12\gamma_k+\ln 2+\frac12\ln k + \frac12 c \]

   先依次放 \(p\) 个正项，接着依次放 \(q\) 个负项（\(p,q\in\Z^+\)），

   \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infin}\tilde a_n &= (1+\frac13+\dots+\frac{1}{2p-1})-(\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2q})\\ &+(\frac{1}{2p+1}+\dots+\frac{1}{4p-1})-(\frac{1}{2q+2}+\dots+\frac{1}{4q})\\ &+\dots\\ &+(\frac{1}{2(n-1)p+1}+\dots+\frac{1}{2np-1})-(\frac{1}{2(n-1)q+2}+\dots+\frac{1}{2nq})\\ &+\dots\end{aligned} \]

   因此有：

   \[\begin{aligned} \tilde A_{2n} &= H_{2np} - \frac12 H_{np}-\frac12 H_{nq}\\ &=\gamma_{2np} - \frac12\gamma_{np}-\frac12\gamma_{nq}+\ln 2+\frac12\ln p-\frac12\ln q\\ &\to \ln\left(2\sqrt{\frac{p}{q}}\right),(n\to+\infin) \end{aligned} \]

3. *黎曼定理：若 \(\sum a_n\) 条件收敛，则 \(\forall s\in\R\cup\{\pm\infin\},\exist \sum a_n\) 的一个重排 \(\sum a_{\sigma(n)}\) 使得 \(\sum a_{\sigma(n)}=s\).

级数的乘积

设 \(\sum a_n,\sum b_n\) 是两个级数，

Cauchy 乘积：定义 \((\sum a_n)(\sum b_n)\triangleq\sum c_n\)，其中 \(c_n=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}\)，

“正方形”法则：\((\sum a_n)(\sum b_n)\triangleq\sum d_n\)，其中 \(d_n=\sum_{i=1}^{n-1}(a_ib_n+a_nb_i)+a_nb_n\).

Cauchy 定理：若 \(\sum a_n,\sum b_n\) 都绝对收敛，且 \(\sum a_n=A,\sum b_n = B\)，则 \(\sum w_n\)（其中 \(w_n\) 形如 \(a_ib_j\)，每个 \(a_ib_j\) 都恰好取一次）也绝对收敛，且 \(\sum w_n = A\cdot B\).

证：设 \(a_{i_k}b_{j_k}\) 是 \(a_ib_j(i=1,2,\dots,j=1,2,\dots)\) 的一个排列，令 \(w_k = a_{i_k}b_{j_k}\)，考察 \(\sum w_k\).

\(\forall n\in\Z^+\)，令 \(N_n = \max\{i_1,i_2,\dots,i_n,j_1,j_2,\dots,j_n\}\)，则有

\[\sum_{k=1}^{n}|a_{i_k}b_{j_k}|\le \sum_{i=1}^{N_n}|a_i|\cdot \sum_{i=1}^{N_n}|b_i|\le\sum|a_i|\cdot\sum |b_i| \]

所以 \(\sum w_k\) 是绝对收敛。

又 \(D_n=\sum a_n\cdot \sum b_n \to A\cdot B(n\to+\infin)\)，于是得证。

例：\(\forall x\in\R,\sum \frac{x^n}{n!}\) 绝对收敛，收敛于 \(e^x\).

\[\begin{aligned} &\left(\sum \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum \frac{y^m}{m!}\right)\\ =&\sum(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k})\\ =&\sum_{n=0}^{+\infin}\left( \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^{n-k}}{(n-k)!} \right)\\ =&\sum\frac1{n!}\left( \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k} \right)\\ =&\sum\frac{(x+y)^n}{n!} \end{aligned} \]

例：\(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\) 与 \(\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\) 的 Cauchy 乘积发散。

证：设 \((\sum\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n})^2 = \sum c_n\)，其中：

\[c_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\frac1{\sqrt k}\cdot (-1)^{n-k}\frac{1}{\sqrt{n - k}}=(-1)^{n-1}\sum _{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}} \]

又因为 \(\forall k = 1,2,\dots,n\) 满足 \(k(n+1)\le 2kn \le k^2+n^2\Rightarrow k(n-k+1)\le n^2\)，

故 \(|c_n|\ge 1\)，所以 \(\{c_n\}\) 不以 \(0\) 为极限，故 \(\sum c_n\) 发散。

Abel 变换

设 \(p\in\Z^+,p\ge z\)，又设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_p,\beta_1,\dots,\beta_p\in\R\)，\(\forall k=1,\dots,p\)，设 \(B_k = \sum_{i=1}^{k}\beta_i\)，则有（分部求和公式，非常重要！）：

\[\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\beta_i=\sum_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})B_i+\alpha_pB_p \]

比较：

\[\sum_{i=1}^{p}\alpha_i\Delta B_i=\alpha_xB_x|_{x=0}^{x=p}-\sum_{i=0}^{p-1}B_i\Delta \alpha_i\\ \int_a^bg(x)\mathrm dF(x)=g(x)F(x)|_{x=a}^{x=b}-\int_a^bF(x)\mathrm dg(x) \]

Abel 引理

设 \(p\in\Z^+,p\ge 2\)，又设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) 是一个单调数列，\(\beta_1,\dots,\beta_p\in\R\)，\(\forall k = 1,\dots,p\)，设 \(B_{k}=\sum_{i=1}^{k}\beta_i\)，且 \(\exist L > 0\) 使得 \(\forall k=1,\dots, p\)，有 \(|B_k|\le L\)，则有

\[|\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i|\le L(|\alpha_1|+2|\alpha_p|) \]

证：

\[\begin{aligned} &|\sum _{i=1}^{p}\alpha_i\beta_i|\\ =&|\sum_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})B_i+\alpha_pB_p|\\ \le&L(|\sum_{i=1}^{p-1}(\alpha_i-\alpha_{i+1})|+|\alpha_p|)\\ \le& L(|\alpha_1|+2|\alpha_p|) \end{aligned} \]

Direchlet 判别法

设数列 \(\{a_n\}\) 单调，且 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=0\)（极限趋于 \(0\)），又 \(\sum b_n\) 的部分和数列 \(\{B_n=\sum_{k=1}^{n}b_k\}\) 有界，则 \(\sum a_{n}b_n\) 必收敛。

证：因为 \(\{B_n\}\) 有界，所以 \(\exist M>0,\forall n\in\Z^+,|B_n|\le M\)，从而有 \(\forall n\in\Z^+,\forall p\in\Z^+\)，有

\[|b_{n+1}+\dots+b_{n+p}|=|B_{n+p}-B_{n}|\le 2M \]

又因为 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=0\)，所以 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N\)，有 \(|a_n|<\epsilon\)。

又 \(\{a_n\}\) 单调，由 Abel 引理得：

\[\left| \sum _{k=n+1}^{n+p}a_kb_k \right| \le 2M(|a_{n+1}|+2|a_{n+p}|)<6M\epsilon \]

由数列的 Cauchy 收敛准则知 \(\sum a_nb_n\) 收敛。

例：

\[\sum \frac{\sin n}{n} \]

证：\(\frac{1}{n}\to 0\).

\[\begin{aligned} &-2\sin\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\sin k\\ =&\sum_{k=1}^{n}(\cos(\frac12+k)-\cos(\frac12-k))\\ =&-\cos\frac12+\cos(\frac12+n) \end{aligned} \]

注意：\(\sum\frac{\sin n}{\sqrt n}\) 也可以同样推出收敛，但是平方后发散：

\[\sum\frac{\sin^2n}{n}=\sum\frac{1-\cos(2n)}{n} \]

Abel 判别法

若 \(\sum b_n\) 收敛，\(\{a_n\}\) 单调有界，则 \(\sum a_nb_n\) 必收敛。

证：因为 \(\{a_n\}\) 单调有界，所以 \(\exist a\in\R\) 使得 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\)，\(\{a_n-a\}\) 单调收敛于 \(0\)，\(\sum b_n\) 收敛可知其部分和 \(\{B_n\}\) 有界。由 Direchlet 判别法知 \(\sum (a_n-a)b_n\) 收敛，又因为 \(a_nb_n=ab_n+(a_n-a)b_n+ab_n\)，所以 \(\sum a_n b_n\) 收敛。

例：

\[\sum (-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt n}(1+\frac{1}{n})^{n}(3-\arctan n) \]

函数列与函数项（及数的一致收敛性及其判定）

函数列的一致收敛性及其判定

设 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 是一个函数列，简记作 \(\{a_n(x)\}\).

若 \(x_0\in E\) 且 \(\{a_n(x_0)\}\) 收敛，则称 \(x_0\) 是 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 的一个收敛点，称由 \(\{a_n(x), x\in E\}\) 的所有收敛点组成的集合为收敛域，记作 \(D\).

定义·点态收敛

\(\forall x\in D\)，令\(f(x)=\lim_{n\to +\infin} a_n(x)\)，称 \(f(x), x\in D\) 为 \(\{a_n(x)\}\) 的极限函数，同时称 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x)\).

例：\(a_n(x)=x^n,x\in \R,n=1,2,\dots\).

\[x\in D=(-1,1]\\ f(x)=\begin{cases} 0&,x\in(-1,1)\\ 1&,x=1 \end{cases} \]

例：\(a_n(x) = \frac{\sin nx}{n},x\in\R,n=1,2,\dots\).

\[D=\R\\ f(x)=0,x\in\R \]

定义·一致收敛

设 \(\{a_n(x)\}\) 是一个定义在 \(D\) 上的函数列，\(f(x),x\in D\) 是一个函数，若 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in D\) 都有 \(|a_n(x)-f(x)|<\epsilon\)，则称 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f(x),x\in D\).

记作 \(a_n(x)\overset{D}{\underset{(n\to+\infin)}{\rightrightarrows}} f(x)\).

例：证明 \(\frac{\sin(nx)}{n}\overset{\R}\rightrightarrows 0\).

一致收敛的否定形式：\(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N,\exist x_N\in D\)，有 \(|a_{n_N}(x_N)-f(x_N)|\ge\epsilon_0\)，则称 \(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\)（可以在一致收敛记号上打叉偷懒）。

例：证明 \(\{x^n,x\in(-1,1]\}\) 不一致收敛于 \(f(x)=\begin{cases}0&,x\in(-1,1)\\1&,x=1\end{cases}\).

证：\(\exist \epsilon_0=\frac{1}{5}>0,\forall N\in\Z^+\)，取 \(n_N=2N\)，取 \(x_N=1-\frac{1}{2N}\in(-1,1)\)，使得

\[|a_{n_N}(x_N)-f(x_N)|=|x_N^{n_N}-f(x_N)|=x_N^{n_N}=(1-\frac{1}{2N})^{2N}\ge \frac{1}{4}>\frac15=\epsilon_0 \]

\(\{a_n(x)\}\) 一致收敛的 Cauchy 准则

\(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall p\in Z^+,\forall x\in D\)，成立 \(|a_{n+p}(x)-a_n(x)|<\epsilon\).

证：

• \(\Rightarrow\)：

  \(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)\)，由定义有：\(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in D\)，有 \(|a_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}2\).

  从而有 \(|a_{n+p}(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)，因此 \(|a_n(x)-a_{n+p}(x)|<\epsilon\).

• \(\Leftarrow\)：

  \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in D\)，有 \(|a_{n+p}(x)-a_{n}(x)|<\frac\epsilon2(*)\)，先固定 \(x\in D\)，则由数列收敛的 Cauchy 准则以及上述叙述有数列 \(\{a_n(x)\}\) 收敛，于是 \(\forall x\in D,f(x)\triangleq \lim_{n\to+\infin}a_n(x)\)，在 \((*)\) 式中，令 \(p\to+\infin\) 得：\(|f(x)-a_n(x)|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon\)，由一致收敛定义知，成立。

\(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛的两个充要条件

命题 1：设 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x)\)，则有

\[a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows \lim_{n\to+\infin}\sup\{|a_n(x)-f(x)|,x\in D\}=0 \]

证：

• \(\Rightarrow\)：

  因为 \(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)\)，所以 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n > N,\forall x \in D\)，有 \(|a_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\)，从而有

  \[0\le\sup_{x\in D}|a_n(x)-f(x)|\le \frac{\epsilon}{2}<\epsilon \]

  从而有……成立。

• \(\Leftarrow\)：（差不多是上面倒过来）

反例：\(a_n(x)=\frac{x}{n}\).（自动认为没有 \(\sup\)，也就不成立）。

命题 2：设 \(\{a_n(x)\}\) 在 \(D\) 上点态收敛于 \(f(x),x\in D\)（记作 \(a_n(x)\overset{D}\rightarrow f(x)\)），则有：

\[a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows f(x)\Leftrightarrow \forall \{x_n\},x_n\in D,n=1,2,\dots,均有 \lim_{n\to +\infin}[a_n(x_n)-f(x_n)]=0 \]

（逆否命题：\(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\) 等价于 \(\exist \{x_n\},x_n\in D,n=1,2,\dots\)，有 \([a_n(x_n)-f(x_n)]\) 不以 \(0\) 为极限。）

证：

• \(\Rightarrow\)：由命题 1 可证。

• \(\Leftarrow\)：用反证法。假设 \(\{a_n(x)\}\) 不一致收敛于 \(f(x)\)。

  则有 \(\exist \epsilon_0 >0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N > N,\exist x_N\in D\)，使得 \(|a_{n_N}(x_{n_N})-f(x_{n_N}|\ge \epsilon_0\)，

  \[N=1,\exist n_1>1,\exist x_{n_1}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_1}(x_{n_1})-f(x_{n_1})|\ge \epsilon_0\\ N=n_1,\exist n_2>n_1,\exist x_{n_2}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_2}(x_{n_2})-f(x_{n_2})|\ge \epsilon_0\\ N=n_2,\exist n_3>n_2,\exist x_{n_3}\in D,\texttt{s.t.}|a_{n_3}(x_{n_3})-f(x_{n_3})|\ge \epsilon_0\\ \dots \]

  （补全 \(\{x_k\}\) 中未被定义的部分，它们任取 \(D\) 中的值），则有 \(\{a_k(x_k)-f(x_k)\}\) 不以 \(0\) 为极限。

  矛盾，故假设不成立。

例：\(a_n(x)=(1-x)x^n,x\in[0,1]\).

\(f(x)=0,x\in[0,1]\).

\(\forall n\in\Z^+,a'_n(x)=-x^n+n(1-x)x^{n-1}=0\Rightarrow x=\frac{n}{1+n}\).

\((1-\frac{n}{1+n})(\frac{n}{1+n})^n\to 0\)，故一致收敛。

定义·内闭一致收敛

若 \(\forall [\alpha,\beta]\sub I\)，\(\{a_n(x)\}\) 在区间 \(I\) 上均一致收敛，则称 \(\{a_n(x)\}\) 在区间 \(I\) 上内闭一致收敛。

（一致收敛 \(\Rightarrow\) 内闭一致收敛）

例 \(a_n(x)=x^n,x\in[0,1)\) 内闭一致收敛。

函数项级数

设 \(\{a_n(x),x\in E\}\) 是一个函数列，称 \(a_1(x)+a_2(x)+\dots+a_n(x)+\dots\) 是一个函数项级数，记作：

\[\sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x)\ \ (,x\in E) \]

若 \(x_0\in E\) 且 \(\sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x_0)\) 收敛，则称 \(x_0\) 为 \(\sum a_n(x)\) 的一个收敛点（否则称为“发散点”）。

称 \(\sum a_n(x)\) 的所有收敛点组成的集合为 \(\sum a_n(x)\) 的收敛域，记作 \(D\).

定义一个函数：

\[\begin{aligned} S:D&\to\R\\ x&\mapsto \sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x) （的和） \end{aligned} \]

称 \(S(x),x\in D\) 为 \(\sum a_n(x)\) 的和函数。

称 \(\{S_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k(x),x\in E\}\) 为函数项级数 \(\sum a_n(x),x\in E\) 的部分和数列。

定义·点态收敛

若 \(S_n(x)\overset{D}\to S(x)\)，则称 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上点态收敛到 \(S(x)\).

定义·一致收敛

若 \(S_n(x)\overset{D}\rightrightarrows S(x)\)，则称 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛.（一般不说一致收敛到 \(S(x)\)，但也可以）

定义·内闭一致收敛

部分和函数列在一个区间的任意闭子区间都一致收敛，则称为函数项级数内闭一致收敛。

函数项级数一致收敛的 Cauchy 准则

\(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \epsilon >0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in D\)，有 \(|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_k(x)|<\epsilon\).

\(\sum a_n(x)\) 一致收敛的一个必要条件：

若 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛，则 \(a_n(x)\overset{D}\rightrightarrows 0\).

若 \(\sum a_n(x)\) 的和函数为 \(S(x),x\in D\)，则称 \(R_n(x)=S(x)-S_n(x)\) 为\(\sum a_n(x)\) 的（第 \(n\) 个）余项。

命题：设 \(\sum a_n(x)\) 的和函数为 \(S(x),x\in D\)，则有 \(\sum a_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛 \(\Leftrightarrow\)：

\[\lim_{n\to+\infin} \sup_{x\in D}|R_n(x)|=0 \]

函数项级数一致收敛性的若干判别法

\(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\exist n>N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in D\)，成立 \(u_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)<\epsilon\).

1. Weierstrass 判别法：设 \(\sum u_n(x),x\in D\) 是一个函数项级数，且满足 $\exist $ 收敛的正项级数 \(\sum M_n\) 使得 \(\forall x\in D\)，有 \(|u_n(x)|\le M_n\)，则 \(\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

   证明考虑 Cauchy 准则。

2. Abel 判别法：若

   1. \(\sum u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。
   2. \(\forall x\in I\)，数列 \(\{v_n(x)\}\) 单调。
   3. 函数项 \(\{v_n(x)\}\) 在 \(I\) 上一致有界，即 \(\exist M > 0,\forall n\in \Z^+,\forall x\in I\) 成立 \(|v_n(x)|\le M\).

   则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。

   证：由 #1 知，\(\forall \epsilon >0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall p\in \Z^+,\forall x\in I\)，有

   \[|u_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)|<\epsilon \]

   再由 #2 #3 和 Abel 引理有：

   \[|u_{n+1}(x)v_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)v_{n+p}(x)|\\\le(|v_{n+1}(x)+2v_{n+p}(x)|)\epsilon<4M\epsilon \]

3. Dirichlet 判别法：若

   1. \(\sum u_n(x)\) 的部分和函数列 \(\{S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)\}\) 在 \(I\) 上一致有界。
   2. \(\forall x\in I\) 数列 \(\{v_n(x)\}\) 单调。
   3. \(v_n(x)\overset{D}\rightrightarrows 0\)。

   则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛。

   证：由 #1 有 \(\exist M >0,\forall n\in\Z^+,\forall x\in I\)，有 \(|S_n(x)|\le M\)，从而有 \(\forall n\in\Z^+,\forall p\in \Z^+\)，有 \(|S_{n+p}(x)-S_{n}(x)|\le 2M\).

   再由 #3 得 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in I\)，有 \(|v_n(x)|<\epsilon\).

   最后由 #2 及 Abel 引理有对上述 \(\epsilon > 0\)，$\exist $ 上述的 \(N\in \Z^+\)，\(\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in I\)，有

   \[|u_{n+1}(x)v_{n+1}(x)+\dots+u_{n+p}(x)v_{n+p}(x)|\le (|v_{n+1}(x)|+2|v_{n+p}(x)|)\cdot 2M \]

命题：\(\sum\frac{\sin(nx)}{n}\) 在 \([0,2\pi]\) 上不一致收敛，但 \(\forall \alpha\in(0,\pi)\)，在 \([\alpha,2\pi-\alpha]\) 上一致收敛。

证 1：\(\forall n\in\Z^+\)，取 \(x_n=\frac{\pi}{6n}\)，有

\[\sum_{k=2n+1}^{3n}\frac{\sin(kx_n)}{k}\ge\sum_{k=2n+1}^{3n}\frac{\sin(n\times\frac{\pi}{6n})}{3n}=\frac{1}{6} \]

取 \(\epsilon_0=\frac{1}{6},\forall N\in\Z^+\)，取 \(n_N=2N,p_N=N,x_N=\frac{\pi}{6N}\)，有

\[\sum_{k=2N+1}^{3N}\frac{\sin(kx_N)}{k}\ge\epsilon_0 \]

证 2：\(\forall x\in[\alpha,2\pi-\alpha]\)，有

\[\left| \sum_{k=1}^{n}\sin(kx) \right|=\left| \frac{-2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=1}^n\sin(kx)}{-2\sin\frac{x}{2}} \right|\\ \le\frac{1}{\sin\frac{x}{2}}\le \frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}} \]

一致收敛函数列与函数项级数的性质

定理：设 \(a,b\in\R,a<b,x_0\in(a,b)\)，设 \(I=(a,x_0)\cup(x_0,b)\)，已知 \(f_n(x)\overset{I}\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in\Z^+,\lim_{x\to x_0}f_n(x)=a_n\in\R\).

则有 \(\{a_n\}\) 收敛，且有 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=\lim_{x\to x_0}f(x)\).

\[\lim_{n\to+\infin}\lim_{x\to x_0}f_n(x)=\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to+\infin}f_n(x) \]

（\(f_n\) 一致收敛的时候极限可以交换次序）

证明：先证 \(\{a_n\}\) 收敛，由 \(f_n(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\)，有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n> N,\forall x\in I,\forall p\in\Z^+\)，有 \(|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}\)。从而有

\[|a_{n+p}-a_{n}|=\left| \lim_{x\to x_0}f_{n+p}(x)-\lim_{x\to x_0}f_n(x) \right| =\lim_{x\to x_0}|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|\le\frac{\epsilon}{3}<\epsilon \]

故 \(\{a_n\}\) 是一个 Cauchy 列，故 \(\{a_n\}\) 收敛，可设 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=A\in\R\)。

下证 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\).

由 \(f_n(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\) 及 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=A\)，有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in I\)，有

\[|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{3} 且 |a_n-A|<\frac{\epsilon}{3} \]

特别地，取 \(n=N+1\)，上述两个不等式也成立。又 \(\lim_{x\to x_0}f_{N+1}(x)=a_{N+1}\)，故对于上述的 \(\epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in\mathring U(x,\delta)\in I\)，有 \(|f_{N+1}(x)-a_{N+1}|<\frac{\epsilon}{3}\)，则有 \(|f(x)-A|<\epsilon\).

函数列性质·连续性

若 \(f(x)\overset I\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in \Z^+,f_n(x)\) 在 \(I\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续。（\(\{x^n\},x\in[0,1]\) 不一致收敛。）

推论：若 \(\forall n\in\Z^+,f_n(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \(I\) 上内闭一致连续，则极限函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续。

函数项级数性质·连续性

若 \(\sum u_n(x)\) 在区间 \(I\) 上一致收敛，且 \(\sum u_n(x)\) 的“和”记为 \(S(x),x\in I\)，又 \(\forall n\in\Z^+,u_n(x)\) 在 \(I\) 上连续，则 \(S(x)\) 在 \(I\) 上连续。

函数列性质·可积性

\(a,b\in\R\)，若 \(f_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(x)\)，且 \(\forall n\in\Z^+,f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且有 \(\lim_{n\to+\infin}\int_a^bf_n(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx\).

证：令 \(S(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in[a,b]\)，由题意 \(S_x(X)\overset {[a,b]}\rightrightarrows S(x)\)，于是 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in[a,b]\)，有 \(|S_n(x)-S(x)|<\frac{\epsilon}2\)，由题意知，\(\forall n\in\Z^+,S_n(x)\) 可积。

任取 \([a,b]\) 的一个区间 \([\alpha,\beta]\)，\(m=\inf f_n([\alpha,\beta]),M=\sup f_n([\alpha,\beta])\)，\(f_n\) 在 \([\alpha,\beta]\) 的振幅 \(\omega=M-m\)，又记 \(\Omega\) 为 \(f(x)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上的振幅。

由 \(\forall x\in[\alpha,\beta],S_n(x)-\frac{\epsilon}2<S(x)<S_n(x)+\frac\epsilon2\)，得：\(\Omega\le\omega+\epsilon\).

现作 \([a,b]\) 的一个划分 \(\{[x_{i-1},x_{i}]\}|_{i=1}^m\)，设 \(S_n(x),S(x)\) 在第 \(i\) 个区间上的振幅分别为 \(\omega_i,\Omega_i\)，则有

\[\Omega_i\le\omega_i+\epsilon,i=1,2,\dots,m\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^m\Omega_i\Delta x_o\le\sum_{i=1}^m\omega_i\Delta x_i+\sum_{i=1}^m\epsilon\Delta x_i=\sum_{i=1}^m\omega_i\Delta x_i+(b-a)\epsilon \]

由可积性定理可知，\(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。

令 \(\varphi(x)=S(x)-S_n(x),x\in[a,b]\)，由题意，\(\varphi(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows 0\)，由题意有：

\[\forall \epsilon >0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall x\in[a,b],有 |\varphi_n(x)|<\epsilon\\ \left| \int_a^b\varphi(x)\mathrm dx \right|\le \epsilon(b-a) \]

由 \(\epsilon\) 的任意性知，\(\lim_{n\to+\infin}\int_a^b\varphi(x)\mathrm dx=0\)，即：

\[\lim_{n\to+\infin}\int_a^b[S(x)-S_n(x)]\mathrm dx=0\\ \lim_{n\to+\infin}\int_a^bS_n(x)\mathrm dx=\int_a^bS(x)\mathrm dx \]

函数项级数性质·可积性

若函数项级数 \(\sum u_n\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，且 \(\forall n\in\Z^+,u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，若 \(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上的和函数为 \(S(x),x\in[a,b]\)，则 \(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上也可积，且有

\[\sum\int_a^bu_n(x)\mathrm dx=\int_a^b S(x)\mathrm dx \]

函数列性质·可导性

\(\forall n\in\Z^+\)，设 \(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，\(x_0\in[a,b]\) 是函数列 \(\{f_n(x)\}\) 的一个收敛点，且 \(\{f_n'(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则有

\[\forall x\in[a,b],\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \lim_{n\to+\infin}f_n(x) \right)= \lim_{n\to+\infin}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f_n(x) \]

设 \(a,b\in\R,a<b\)，\(\{f_n(x)\}\) 是 \([a,b]\) 上的可导函数。\(x_0\in[a,b]\) 是 \(\{f_n(x)\}\) 的一个收敛点，若 \(f'_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows g(x)\)，则存在定义在 \([a,b]\) 上的一个函数 \(f(x)\) 使得 \(f_n(x)\overset{[a,b]}{\rightrightarrows}f(x)\)，且有 \(\forall x\in(a,b),f'(x)=g(x),f'_+(a)=g(a),f'_-(b)=g(b)\).

证：由 \(\{f_n(x_0)\}\) 收敛及 \(f'_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows g(x)\)，有 \(\forall \epsilon > 0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,\forall p\in\Z^+,\forall x\in[a,b]\)，有

\[|f_{n+p}(x_0)-f_n(x_0)|<\frac\epsilon3\\ |f'_{n+p}(x)-f_n'(x)|<\frac{\epsilon}{3(b-a)} \]

在 \([a,b]\) 中任取两点 \(x\neq t,f_{n+p}(u)-f_n(u)\) 在 \([x,t]\) 或 \([t,x]\) 上用 Lagrange 中值 Th 得：

\(\exist \zeta\) 介于 \(x\) 和 \(t\) 之间使得：

\[\begin{aligned} |f_{n+p}(x)-f_n(x)-f_{n+p}(t)+f_n(t)|=&|f'_{n+p}(\zeta)-f'_n(\zeta)||x-t|\\ \le&\frac{\epsilon}{3(b-a)}|x-t|\\ \le&\frac{\epsilon}{3} \end{aligned} \]

所以 \(\forall x\in[a,b]\)，有

\[\begin{aligned} |f_{n+p}(x)-f_n(x)|=&|f_{n+p}(x)-f_n(x)-f_{n+p}(x_0)+f_n(x_0)+f_{n+p}(x_0)-f(x_0)|\\ \le&|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)-f_{n+p}(x_0)+f_n(x_0)|+|f_{n+p}(x_0)-f_{n}(x_0)|\\ =&\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}\\ <&\epsilon \end{aligned} \]

从而由 Cauchy 准则知，\(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，并可设 \(f_n(x)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(x)\).

任意取定 \(x\in(a,b)\)（注：当 \(x=a\) 或 \(x=b\) 时类似可证）。

\(\forall t\in[a,b]\) 且 \(t\neq x,\forall n\in\Z^+\)，令 \(\varphi_n(t)=\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x},\varphi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\).

由 \(f_n\) 的可导性知，\(\forall n\in\Z^+,\lim_{t\to x}\varphi_n(t)=f'_n(x)\).

又 \(\forall n > N,\forall p\in\Z^+,\forall t\in[a,b]-\{x\}\)，有

\[\begin{aligned} &|\varphi_{n+p}(t)-\varphi_n(t)|\\ =&\frac{1}{|t-x|}\left| f_{n+p}(t)-f_{n+p}(x)-f_n(t)+f_n(x)\ \right|\\ \le&\frac{\epsilon}{3|b-a|}\cdot|x-t|\cdot\frac{1}{|t-x|}\\ <&\frac{\epsilon}{2|b-a|}\end{aligned} \]

从而知，\(\varphi_n(t)\) 在 \([a,b]-\{x\}\) 上一致收敛。

又 \(f_n(t)\overset{[a,b]}\rightrightarrows f(t),\forall t\in[a,b]-\{x\}\)，

\[\lim_{n\to+\infin}\varphi_n(t)=\lim_{n\to+\infin}\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x}=\varphi(t) \]

从而有 \(\varphi_n(t)\overset{[a,b]-\{x\}}\rightrightarrows\varphi(t)\).

\[f'(x)=\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}=\lim_{t\to x}\varphi(t)=\lim_{t\to x}\lim_{n\to+\infin}\varphi_n(t)=\lim_{n\to+\infin}\lim_{t\to x}\varphi_n(t)=\lim_{n\to+\infin}f'_n(x)=g(x) \]

函数项级数性质·逐项可导性

设 \(\forall n\in\Z^+\)，设 \(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，\(x_0\in[a,b]\) 是 \(\sum u_n(x)\) 的一个收敛点，又 \(\sum u'_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则有（不要求证明）：

1. \(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛。

2. \[\forall x\in[a,b],\sum u'_n(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum u_n(x) \]

函数项级数性质·逐项可积性

设 \(\forall n\in\Z^+\)，\(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且 \(\sum u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛，则 \(\sum u_n(x)\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且有 \(\int_a^b\sum u_n(x)\mathrm dx=\sum \int_a^bu_n(x)\mathrm dx\).

//P39 例子，著名函数，\(\zeta\) 黎曼函数.

幂级数

（一类特殊的函数项级数）

设 \(x_0\in\R,\{a_n\}_{n=0}^{+\infin}\) 是一列实数，把形如 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n=a_0+\sum_{n=1}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\) 的函数项级数称作幂级数。

统一变量替换：令 \(x-x_0=t,\sum_{n=0}^{+\infin}a_nt^n=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(x-x_0)^n\)。

下面专门考察 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n(*),a_n\in\R(\forall n\in\N)\).

Abel（第一）定理

1. 若 \(\exist \overline x\in\R-\{0\}\) 使得 \(\sum a_n\cdot (\overline x)^n\) 收敛，则 \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<|\overline x|\}\)，则 \(\sum a_n x^n\) 绝对收敛。
2. 若 \(\exist \tilde x\in\R\)，使得 \(\sum a_n\cdot (\overline x)^n\) 发散，则 \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|>|\tilde x|\}\)，有 \(\sum a_nx^n\) 发散。

证：

1. \(\because \sum a_n\cdot (\overline x)^n\) 收敛，\(\therefore \exist M>0,\forall n\in\N,|a_n\cdot (\overline x)^n|\le M\).

   \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<|\overline x|\}\)，令 \(q=\frac{|x|}{|\overline x|}\in[0,1)\)，\(\forall n\in\N\)，有

\[ |a_nx^n|=\left|a_nx^n\cdot\frac{|\overline x|^n}{|\overline x|^n}\right|=|a_n\cdot (\overline x)^n|q^n\le M\cdot q^n \]

因而 \(\sum |a_n x^n|\) 收敛。

2. 反证法 + #1 中的结论即可。

收敛半径的存在性定理

若 \((*)\) 的收敛域 \(\neq \{0\}\)，即 \(\exist \overline x\neq 0\) 使得 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\cdot(\overline x)^n\) 收敛；且 \((*)\) 的收敛域 \(\neq \R\)，即 \(\exist \tilde x\in\R\) 使得 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_n(\tilde x)^n\) 发散。

则必 \(\exist\) 正实数 \(R\)，使得：

1. \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<R\},\sum a_nx^n\) 绝对收敛。
2. \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|>R\},\sum a_nx^n\) 发散。

证：记 \((*)\) 的收敛域为 \(E\)。\(0\in E\)，则 \(E\) 非空。

又 \(E\cap(|\tilde x|,+\infin)=\varnothing\)，所以 \(\forall x\in E,|x|\le |\tilde x|\).

令 \(\sup E=R\in\R\)，因为 \(\frac{|\overline x|}{2}\in E\)，所以 \(R\ge \frac{|x|}{2}>0\)，下面证明 \(R\) 满足 #1 和 #2.

1. \(\forall x\in\{t\in\R|\ |t|<R\}\)，有 \(|x|<R\)，故 \(\exist x_1\in\R\) 使得 \(|x|<x_1<R\).

   \(\because R=\sup E\)，所以 \(x_1\in E\)，故 \(\sum a_nx^n\) 绝对收敛，于是 \(\sum a_nx^n\) 收敛。？？

2. ？？

定义：

1. 若 \(E=\{0\}\)，则称 \((*)\) 的收敛半径为 \(0\).
2. 若 \(E=\R\)，则称 \((*)\) 的收敛半径为 \(+\infin\).
3. 否则，称 \((*)\) 的收敛半径为上述定理中的 \(R\in(0,+\infin)\).

例：

1. \(\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n}\)，收敛域 \([-1,1)\)，收敛半径 \(R=1\).
2. \(\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^n\frac{x^n}{n}\)，收敛域 \((-1,1]\)，收敛半径 \(R=1\).
3. \(\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^n}{n^2}\)，收敛域 \([-1,1]\)，收敛半径 \(R=1\).

定理（柯西—阿达马 定理）

设 \(\rho=\overline{\lim_{n\to+\infin}}\sqrt[n]{|a_n|}\in[0,+\infin]\)（中括号没写错），则有

1. 当 \(\rho= 0\) 时，\(R=+\infin\)；
2. 当 \(\rho = +\infin\) 时，\(R=0\)；
3. 当 \(\rho\in(0,+\infin)\) 时，\(R=\frac{1}{\rho}\).

\[q=\overline{\lim_{n\to+\infin}}|a_nx^n|^{\frac{1}{n}}=|x|\overline{\lim_{n\to+\infin}}|a_n|^{\frac1n}=|x|\cdot \rho<R\cdot \rho=1 \]

1. 若 \(|x|<R\)，则 \(q<1\)，\(\sum a_nx^n\) 绝对收敛。
2. 若 \(|x|>R\)，则 \(q>1\)，\(\sum a_n x^n\) 发散。

命题：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，则 \(\sum a_nx^n\) 在 \((-R,R)\) 上内闭一致收敛。

证：任取 \([a,b]\in(-R,R)\)，令 \(r=\max\{|a|,|b|\}<R\)，则有

\[\forall x\in [a,b],|a_nx^n|\le|a_nr^n| \]

而 \(\sum a_nr^n\) 绝对收敛，由 Weierstrass 判别法知，一致收敛。

命题（Abel 第二定理）：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，若 \(\sum a_nR^n\) 收敛，则 \(\sum a_nx^n\) 在 \([0,R]\) 上一致收敛。

证：\(\because a_nx^n=\sum a_nR^n\left(\frac{x}{R}\right)^n\)，而 \(\sum a_nR^n\) 收敛，\(\forall x\in[0,R],\left(\frac{x}{R}\right)^n\) 单调。（\(R\) 可换为 \(-R\)）

所以由 Abel 判别法知，\(\sum a_nx^n\) 在 \([0,R]\) 上一致收敛。

幂级数的性质

1. 连续性：

   1. 若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，则 \(\sum a_nx^n\) 的和函数 $ S(x)$ 在 \((-R,R)\) 连续。
   2. 若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\) 且 \(\sum a_nR^n\) 收敛，则 \(\sum a_nx^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \(x=R\) 处左连续。（\(R\) 可换为 \(-R\)）

2. 可导性：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(S(x)\)，则 \(S(x)\) 在 \((-R,R)\) 内每点处均可导，且有 \(\forall x\in(-R,R),S'(x)=\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\)。

   命题：设 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，又设其逐项求导后所得的幂级数为 \(\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\)，则有 \(\sum na_nx^{n-1}\) 收敛半径也为 \(R\).

   “证”：

   \[R=\frac{1}{\overline\lim\sqrt[n]{|a_n|}}\\ R'=\frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|(n+1)a_{n+1}|}} \]

   命题：设 \(\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，又设 \(\sum _{n=0}^{+\infin}a_nx^n\) 逐项积分后所得幂级数为

   \[\sum_{n=0}^{+\infin}\int_0^x a_nt^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{a_nx^{n+1}}{n+1} \]

   则其收敛半径也为 \(R\).

   “证”：

   \[R=\frac{1}{\overline\lim |a_n|^\frac{1}{n}}\\ \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|\frac{a_n}{n+1}}|}=R \]

   证明可导性：由刚才的命题知，\(\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\) 的收敛半径也为 \(R\)。

   \(\forall x_0\in(-R,R)\)，可选 \(0<r<R\)，使得 \(x_0\in(-r,r)\)。

   又 \(\sum a_nx^n\)，\(\sum na_nx^{n-1}\) 在 \([-r,r]\) 上一致收敛。

   由函数项级数的一致收敛的可导性知，\(\sum a_nx^n\) 的和函数 \(S(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，且有 \(S'(x_0)=\sum_{n=1}^{+\infin}na_nx^{n-1}\).

3. 可积性：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，设其和函数为 \(S(x)\)，则 \(\forall [a,b]\sub(-R,R)\)，有

   \[\int_{a}^bS(x)\mathrm dx=\sum_{n=0}^{+\infin}a_n\int_a^bt^n\mathrm dt=\sum \frac{a_n}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1}) \]

   特别地，有 \(\forall x\in(-R,R)\)，有

   \[\int_0^xS(t)\mathrm dt=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \]

   推论 1：设 \(\sum a_n x^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则有 \(f(x)\) 在 \((-R,R)\) 上是任意阶可导的，且有：

   \[\forall k\in\Z^+,f^{(k)}(x)=\sum n(n-1)\dots(n-k+1)a_nx^{n-k} \]

   推论 2：设 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R>0\)，其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则有 \(a_0=f(0)\)，且 \(\forall k\in\Z^+,f^{(k)}(0)=k!a_k\)，即 \(a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\).

幂级数的运算与收敛半径

命题：设 \(\sum a_nx^n\) 和 \(\sum b_n x^n\) 的收敛半径分别为 \(R_a>0,R_b>0\) 的幂级数，则

1. \(\forall \alpha<R\) 且 \(\alpha\neq 0\)，有 \(\sum \alpha a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R_a\)，且 \(\forall x\in(-R_a,R_a)\)，有 \(\sum \alpha\cdot a_nx^n=\alpha\sum a_nx^n\).

2. \(\forall \alpha,\beta\in\R\) 且 \(\alpha\beta\neq 0\)，有 \(\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n\) 的收敛半径 \(\ge\in\{R_{\alpha},R_{\beta}\}\)，且 \(\forall x\in\R\)，且 \(|x|<\min\{R_\alpha,R_\beta\}\)，\(\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n\) 绝对收敛且有

   \[\sum(\alpha a_n+\beta b_n)x^n=\alpha\sum a_nx^n+\beta\sum b_nx^n \]

命题：设 \(\sum a_nx^n\) 和 \(\sum b_nx^n\) 为两个收敛半径分别为 \(R_a>0,R_b>0\) 的幂级数，则它们的 Cauchy 乘积 \(\sum c_n x^n\)（其中， \(c_n=\sum_{k=0}^{n} a_kb_{n-k}\)）。从而进一步有：\(\forall x\in\R,|x|<\min\{R_a,R_b\}\)，有

\[\sum c_nx^{n}=\sum a_nx^n\cdot\sum b_nx^n \]

例：求 \(I=\sum_{n=0}^{+\infin}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\) 求和。

解：

\[I=\lim_{x\to{1-}}\sum_{n=0}^{+\infin}(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\lim_{x\to1-}\sum_{n=0}^{+\infin}(-1)^n\int_0^xt^{2n}\mathrm dt=\lim_{x\to1-}\int_0^x\sum_{n=0}^{+\infin}(-t^2)^n\\ =\lim_{x\to1-}\int_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\lim_{x\to 1-}\arctan y=\frac{\pi}{4} \]

例：求 \(\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{x^n}{n!}\) 的和函数 \(f(x)\).

解：\(R=+\infin(\rho=\lim_{n\to+infin}\sqrt[n]{\frac1{n!}}=0)\)。

\[\begin{aligned} f(0)&=1\\ f(x)\cdot f(-x)&=\sum\frac{x^n}{n!}\sum\frac{(-1)^n}{n!}x^n\\ &=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}(-1)^{n-k}1^kx^n\\ &=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k(-x)^{n-k}\\ &=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac1{n!}(x+(-x))^n\\ &=1\\ &\Rightarrow f(x)>0 \end{aligned} \]

又有：

\[\begin{aligned} f'(x)=&\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\ =&f(x)\end{aligned} \]

又 \(f(x)\neq 0\)，故：

\[\begin{aligned} \frac{f'(t)}{f(t)}=&1\\ \int_{0}^{x}\frac{f'(t)}{f(t)}\mathrm dt=&\int_0^x1\mathrm dt\\ \ln|f(x)|=&x\\ f(x)=&e^x \end{aligned} \]

函数的幂级数展开

若 \(\sum a_nx^n\) 的收敛半径 \(R>0\)，设其和函数在 \((-R,R)\) 上的限制为 \(f(x)\)，则 \(\forall x\in(-R,R)\)，有

\[f(x)=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

问：假设给定一个包含 \(0\) 的开区间 \(I\sub \R\)，以及一个函数 \(f:I\to\R\)，

1. \(f\) 应该具备什么样的条件才能“展开”为一个幂级数 \(\sum a_nx^n\)，即 \(\forall x\in I,f(x)=\sum_{n=0}^{+\infin}a_nx^n\)？
2. 如果 \(f\) 能够展开成一个幂级数，则其是否唯一？（是）
3. 有哪些方法可以将函数展开成幂级数？

定义·能展开成幂级数

设 \(I\) 是一个开区间，\(x_0\in I,f:I\to\R\) 是一个函数。

若存在一个收敛半径 \(R>0\) 的幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 及 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\sub I\)，使得，\(\forall x\in U,f(x)=\sum a_n(x-x_0)^n\)，则称 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)，如果 \(U=I\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\).

设 \(I\) 是包含 \(0\) 的一个开区间，\(f:I\to \R\) 是一个函数。

若存在一个收敛半径 \(R>0\) 的幂级数 \(\sum a_nx^n\) 及 \(0\) 的一个邻域 \(U\sub I\)，使得，\(\forall x\in U,f(x)=\sum a_nx^n\)，则称 \(f\) 在 \(x=0\) 处能展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\)，如果 \(U=I\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上能展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\).

命题·展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\) 的一个必要条件

若 \(f:I\to\R\) 在 \(x=0\) 处可展开成幂级数 \(\sum a_nx^n\)，则 \(f\) 在 \(x=0\) 处任意阶可导，且有：

\[a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},n=0,1\dots \]

从而有 \(\sum a_nx^n=\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)（幂级数展开式，并称其为 Maclaurin（麦克劳林）展开式）。

“展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的一个必要条件”类似。最终展开为 \(\sum a_n(x-x_0)^n=\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)（幂级数展开式，并称其为 Taylor 展开式）。

定义·Taylor 级数

设 \(I\) 是一个开区间，\(x_0\in I\)，函数 \(f:I\to \R\) 在 \(I\) 上任意阶可导，则称 \(\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\) 为 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处的 Taylor 级数。

称 \(x_0=0\) 时的 Taylor 级数为麦克劳林（Maclaurin）级数。

若 \(f:I\to\R\) 在开区间 \(I\) 上可展开称幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\)（\(x_0\in I\)），则称 \(f:I\to\R\) 在 \(I\) 上是实解析的。

注意级数与展开式的区别，级数不要求收敛半径 \(R>0\)，且级数的和函数甚至可能不是原函数。

例：

\[f(x)=\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{\sin(2^n x)}{n!} \]

的 Maclaurin 级数的收敛半径为 \(0\)。

例：\(f(x)=e^x\)，\(\forall n\in\Z^+,f^{(n)}(x)=e^x\)，从而 \(f^{(n)}(0)=1\)，\(f(x)=\sum\frac{x^n}{n!}\).

命题· \(f\) 能展开成幂级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的一个充要条件

设 \(f:I\to\R\) 是一个函数，\(x_0\in I\)（开区间）。\(f\) 在 \(x_0\) 处任意阶可导，则 \(f\) 在 \(x=x_0\) 处能展开成 \(\sum\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_0)^n\)，当且仅当 \(\forall x\in U=(x_0-r,x_0+r)\)（其中 \(r>0\) 为常数），有 \(\lim_{n\to+\infin}R(x)=0\).

设 \(f:I\to\R\) 是一个函数，\(0\in I\)（开区间），已知 \(f\) 在 \(0\) 处任意阶可导，\(\forall x\in I,\forall n\in\N\)，令 \(f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\)，\(R_n(x)=f(x)-f_n(x)\)，则有下述命题成立：

​ \(f\) 在 \(I\) 上可展开成 Maclaurin 级数 \(\sum_{n=0}^{+\infin}\frac{f^{(k)}(0)}{n!}x^n\) 等价于 \(\forall x\in I,\lim_{n\to+\infin}R_n(x)=0\).

证：\(\Rightarrow\)：

\(\because f\) 在 \(I\) 上可展开为 \(\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).

\(\therefore \sum_{n=0}^{+\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(x),\forall x\in I\).

\(\forall x\in I\)，由 \(R_n(x)=f(x)-f_n(x)\) 得

\[\begin{aligned} \lim _{n\to+\infin}R_n(x)&=\lim_{n\to+\infin}(f(x)-f_n(x))\\&=f(x)-\lim_{n\to+infin}f_n(x)\\&=0 \end{aligned} \]

\(\Leftarrow\)：

\(\forall x\in I,0=\lim_{n\to+\infin}R_n(x)=\lim_{n\to+\infin}[f(x)-f_n(x)]\)，所以 \(f(x)=\lim_{n\to+\infin}f_n(x)=\sum \frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n\).

命题：\(f:I\to\R\) 是一个函数，\(0\in I\)（开区间），且 \(f\) 在 \(I\) 上任意阶可导，若 \(\exist M>0\)，使得 \(\forall x\in I,\forall n\in\N,|f^{(n)}(x)|\le M\)，则 \(f\) 在 \(I\) 上一定可以 展开成 Maclaurin 级数 \(\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).

证：由带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式有：

\[\begin{aligned} |R_n(x)|&=\left|\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}x^{n+1}\right|(\exist \zeta\in[0,x]或[x,0]) \\ &\le\frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}\\ &\to 0\end{aligned} \]

例：

\[\sin x=\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!},\forall x\in\R\\ \cos x=\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!},\forall x\in\R \]

例：\(f(x)=\ln(1+x)\overset{?}=\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},R=1\) 收敛域 \((-1,1]\).

\(\forall x\in[0,1]\)，用 Lagrange 型余项：

\[\begin{aligned} R_n(x)&=\left| \frac{(-1)^n\frac{n!}{(1+\zeta)^{n+1}}}{(n+1)!}\cdot x^{n+1} \right|\\ &=\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)(1+\zeta)^{n+1}}\\ &=\frac{1}{n+1}\cdot\left| \frac{x}{1+\zeta} \right|^{n+1}\\ &\le\frac{1}{n+1}\\ &\to 0 \end{aligned} \]

\(\forall x\in(-1,0)\)，用 Cauchy 型余项（见书 P52）

例：\(f(x)=(1+x)^{\alpha},\alpha\in\R-\N,x>-1\).

\(\forall x\in(-1,+\infin),f^{(n)}(x)=\alpha\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}\)，\(n=1,2,\dots\).

\[\begin{aligned} &1+\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ =&1+\sum_{n=1}^{+\infin}\frac{\alpha\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n \end{aligned} \]

\(R=1\).

下证：\(\forall x\in(-1,1),R_n(x)\overset{n\to+\infin}\longrightarrow 0\).

Cauchy 型余项：

\[R_n(x)=\frac{\alpha\cdots(\alpha-n)}{n!}\left( \frac{1-\theta}{1+\theta x} \right)^n(1+\theta x)^{\alpha-1}x^{n+1},\alpha>1 \]

\[|R_n(x)|= \begin{cases} \frac{|\alpha\cdots(\alpha-n)|}{n!}(1+|x|)^{\alpha-1}|x|^{n+1}&,\alpha>1\\ \frac{|\alpha\cdots(\alpha-n)|}{n!}(1-|x|)^{\alpha-1}|x|^{n+1}&,\alpha<1\\ \end{cases}\to 0 \]

结论

1. \(\alpha\le -1\) 时，\(x=\pm 1\) 均发散。
2. \(\alpha\in(-1,0),x=-1\) 发散，\(x=1\) 收敛。
3. \(\alpha>0,x=\pm 1\) 时均收敛。