必修一
集合
自然数集: \(\mathbb{N}\)
正整数集: \(\mathbb{N^*}\) 或 \(\mathbb{N^+}\)
整数集:\(\mathbb{Z}\)
有理数集:\(\mathbb{Q}\)
实数集:\(\mathbb{R}\)
复数集:\(\mathbb{C}\)
下面一般记小写字母为元素,大写字母为集合
\(a\) 属于集合 \(S\) 记作 \(a \in S\), 不属于记作 \(a \notin S\), \(A\) 包含于 \(B\) 记作 \(A \subseteq B\), 称 \(A\) 为 \(B\) 的子集, \(A\) 真包含于 \(B\) 记作 \(A \nsubseteqq B\), \(A\) 为 \(B\) 的真子集, 空集为 \(\varnothing\), \(A\) 与 \(B\) 的并集记作 \(A \cup B\), 交集记作 \(A \cap B\), \(A\) 与 \(B\) 的差集记为 \(A \setminus B = \{x | x \in A \land x \notin B\}\), 全集 \(U\) 与 \(A\) 的差集表示 \(A\) 相对于全集 \(U\) 的补集,记作 \(\complement_U A\)
表示集合的方法:
- 列举法:\(S = \{集合内的元素\}\) e.g. \(S = \{1, 2, 3\}\)
- 描述法:\(S = \{x \in A | P(x)\}\), 其中 \(A\) 一般是上述常用数集之一,要求 \(S \subseteq A\), \(P(x)\) 是条件,满足
\(\forall x \in S, P(x)=1\) e.g. \(Q=\{x\in\mathbb{R}|x=\frac{p}{q},p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\}\)
下面一般记 \(p,q\) 为命题
"若 \(p\), 则 \(q\)" 记为 \(p \Rightarrow q\), 此时称 \(p\) 为 \(q\) 的充分条件,\(q\) 为 \(p\) 的必要条件(如果 \(q\) 不成立则 \(p\) 一定不成立), 充分必要条件简称充要条件
所有: 全称量词,记作 \(\forall\) 存在:存在量词,记作 \(\exists\) 不存在记作 \(\nexists\), \(\not P(x)\)
全称量词命题的否定:
\(\forall x \in M, P(x) 的否定为 \exists x \in M, \lnot P(x)\)
存在量词命题的否定:
\(\exists x \in M, P(x) 的否定为 \forall x \in M, \lnot P(x)\)
不等式
- \(a > b \Longleftrightarrow a - b > 0\)
- \(a > b \Longrightarrow b < a\)
- \(a > b, b > c \Longrightarrow a > c\)
- \(a > b, b > c \Longrightarrow a > c\)
- \(a > b, c > 0 \Longrightarrow ac > bc; a > b, c < 0 \Longrightarrow ac < bc\)
- \(a > b, c > d \Longrightarrow a + c > b + d\)
- \(a > b > 0, c > d > 0 \Longrightarrow ac > bd\)
- \(a > b > 0, n > 0 \Longrightarrow a^n > b^n\)
做题常见方法:特殊值、作差、先平方再作差