高中数学

必修一

集合

自然数集: \(\mathbb{N}\)
正整数集: \(\mathbb{N^*}\) 或 \(\mathbb{N^+}\)
整数集：\(\mathbb{Z}\)
有理数集：\(\mathbb{Q}\)
实数集：\(\mathbb{R}\)
复数集：\(\mathbb{C}\)

下面一般记小写字母为元素，大写字母为集合
\(a\) 属于集合 \(S\) 记作 \(a \in S\), 不属于记作 \(a \notin S\), \(A\) 包含于 \(B\) 记作 \(A \subseteq B\), 称 \(A\) 为 \(B\) 的子集, \(A\) 真包含于 \(B\) 记作 \(A \nsubseteqq B\), \(A\) 为 \(B\) 的真子集, 空集为 \(\varnothing\), \(A\) 与 \(B\) 的并集记作 \(A \cup B\), 交集记作 \(A \cap B\), \(A\) 与 \(B\) 的差集记为 \(A \setminus B = \{x | x \in A \land x \notin B\}\), 全集 \(U\) 与 \(A\) 的差集表示 \(A\) 相对于全集 \(U\) 的补集，记作 \(\complement_U A\)

表示集合的方法：

1. 列举法：\(S = \{集合内的元素\}\) e.g. \(S = \{1, 2, 3\}\)
2. 描述法：\(S = \{x \in A | P(x)\}\), 其中 \(A\) 一般是上述常用数集之一，要求 \(S \subseteq A\), \(P(x)\) 是条件，满足
   \(\forall x \in S, P(x)=1\) e.g. \(Q=\{x\in\mathbb{R}|x=\frac{p}{q},p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0\}\)

下面一般记 \(p,q\) 为命题

"若 \(p\), 则 \(q\)" 记为 \(p \Rightarrow q\), 此时称 \(p\) 为 \(q\) 的充分条件，\(q\) 为 \(p\) 的必要条件(如果 \(q\) 不成立则 \(p\) 一定不成立), 充分必要条件简称充要条件

所有: 全称量词，记作 \(\forall\) 存在：存在量词，记作 \(\exists\) 不存在记作 \(\nexists\), \(\not P(x)\)
全称量词命题的否定：
\(\forall x \in M, P(x) 的否定为 \exists x \in M, \lnot P(x)\)
存在量词命题的否定：
\(\exists x \in M, P(x) 的否定为 \forall x \in M, \lnot P(x)\)

不等式

0. \(a > b \Longleftrightarrow a - b > 0\)
1. \(a > b \Longrightarrow b < a\)
2. \(a > b, b > c \Longrightarrow a > c\)
3. \(a > b, b > c \Longrightarrow a > c\)
4. \(a > b, c > 0 \Longrightarrow ac > bc; a > b, c < 0 \Longrightarrow ac < bc\)
5. \(a > b, c > d \Longrightarrow a + c > b + d\)
6. \(a > b > 0, c > d > 0 \Longrightarrow ac > bd\)
7. \(a > b > 0, n > 0 \Longrightarrow a^n > b^n\)

做题常见方法：特殊值、作差、先平方再作差