3.17——edu166D

edu166 D

限时每日一题day15。第二次自己做出 2000 分的题目。比上次用时更少了，并且感觉这题根本没有2000分。。。

求能取反的区间数量，使得原合法的括号序列经翻转后仍是一个合法括号序列。

不难发现区间内左右括号的数量一定相等。可以将左括号看作1，右括号看作-1。对该数组作前缀和，得到 \(pre\) 数组。

这样左右括号数量相等的区间 \([l, r]\) 等价于 \(pre[l-1] == pre[r]\)。可以考虑枚举右端点，累计合法左端点的数量。

对某个点 \(r\)，其作为区间右端点时，左端点 \(l\) 应满足 \(pre[l-1]==pre[r]\)。可以为每个 \(pre[i]\) 开一个存放位置的 \(vector\)，这样可快速得到 \(r\) 的对应位置。

进一步想可以发现，\(l\) 的合法性也是单调的。因为在右端点固定的情况下，\(l\) 越偏左，越容易不合法（判断不合法性的依据是出现了某个 \(pre[i] < 0\)。这个比较显然，就不证明了）。因此可以二分左端点。难点在于如何弄 \(check\) 函数。

对于翻转区间 \([l,r]\)，首先一定不会影响 \(i < l\) 的 \(pre[i]\)；其次也不会影响 \(i > r\) 的 \(pre[i]\)；因此只需要考虑 \(pre[l到r]\) 会不会因翻转而 \(<0\)。

翻转后的改变为：对于所有 \(i \in [l,r]\)，\(pre[i] - pre[l - 1]\) 均会变号。而若要保证 \(pre[l到r]\) 均 \(>=0\)，需要有：

\[-min(pre[i] - pre[l - 1]) <= pre[l - 1] \]

所以 \([l, r]\) 翻转后需满足：

\[max(pre[i] - pre[l - 1]) <= pre[l - 1] \]

\(pre[l-1]\) 为定值，提出来：

\[max(pre[i]) <= 2 \times pre[l - 1] \]

线段树维护 \(pre\) 区间最大值即可。这样做到了 \(check\) 复杂度 \(O(logn)\)，总复杂度 \(O(nlog^{2}n)\)。

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