ABC293Ex & ABC298Ex & ABC294Ex 题解
ABC293Ex
题意：用若干条颜色路径覆盖树，使得任意路径的颜色数的最大值最小。
首先可以考虑二分答案 \(K\)，变成判定性问题。
考虑树形 DP，设 \(f_{x,0/1/2}\) 表示 \(x\) 子树内的「任意路径的颜色数的最大值」已经小于等于 \(K\) 时，\(x\) 有 \(0/1/2\) 个儿子的颜色与 \(x\) 相同，其值表示以 \(x\) 为端点的「任意路径的路径颜色数的最大值」的最小值。
那么枚举儿子递归，然后考虑这个儿子是否要和 \(x\) 的颜色相同。有转移：
- 当 \(f_{x,i}+f_{v,j}\le K\) 时，\(f'_{x,i}\gets \max(f_{x,i},f_{v,j}+1)\)。
- 当 \(f_{x,i}+f_{v,j}-1\le K\) 时，\(f'_{x,i+1}\gets \max(f_{x,i},f_{v,j})\)。
复杂度 \(O(n\log n)\)，注意到根据树链剖分的结论，答案不大于 \(O(\log n)\)，复杂度降为 \(O(n\log \log n)\)。
ABC298Ex
很简单的树上 DP 练习题。
找出 \(L_i,R_i\) 的路径上的中点，中点左侧走向 \(L_i\)，右侧走向 \(R_i\)。
于是处理出子树大小、每个点到所有点的距离和、每个点到子树所有点的距离和、每个点到子树外所有点的距离和，知道中点后就能 \(O(1)\) 算答案。
通过一些简单的分讨就可以倍增找到路径中点。
复杂度 \(O(n\log n)\)。
ABC294Ex
很奇怪的题。
考虑容斥，枚举边集 \(S(0\le|S|\le m)\)，表示指定 \(S\) 中的边的两端点颜色相同，那么设只保留 \(S\) 中的边后原图有 \(c\) 个联通块，则 \(S\) 对答案的贡献为 \(K^c\times (-1)^{|S|}\)。复杂度 \(O(2^m\text{poly(n,m)})\)。
考虑剪枝，我们 dfs 枚举边集，注意到如果当前局面下存在一条边，使得连上这条边后 \(c\) 不变，则继续枚举是无意义的，因为各项的贡献会抵消。
使用不路径压缩的启发式合并的并查集，方便回溯。
复杂度不清楚，但可以通过，开优化后最慢的点跑了五秒多。
