树的直径=＞学习笔记-编程知识

树的直径=＞学习笔记

news/2025/3/19 21:35:26/文章来源:https://www.cnblogs.com/panda-lyl/p/18781893

定义

树的直径是指 树上任意两节点之间最长的简单路径。

显然一棵树可能不止一条直径，但它们长度相等。

求法

有 \(2\) 种解法求树的直径，分别是两次 dfs 和 dp。

两次 dfs

先从随机的一个点，假设是根节点，第一次 dfs 求出距离它最远的节点，假设这个节点为 \(u\)，然后从 \(u\) 开始再次 dfs，求出距离点 \(u\) 最远的节点，\(2\) 个节点之间的距离就是树的直径。

例题：洛谷 B4016 树的直径

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;int read() {int x = 0, f = 1; char ch = getchar();while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while (isdigit(ch)) {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * f;
}const int maxn = 100005;
int n, c, d[maxn];
vector<int> g[maxn];
int leaf;void dfs(int u, int fa) {for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {int v = g[u][i];if (v == fa) continue;d[v] = d[u] + 1;// 更新最远距离节点 if (d[v] > d[leaf]) leaf = v;dfs(v, u);}
}int main() {n = read();for (int i = 1; i < n; i++) {int u = read(), v = read();g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dfs(1, 0);// 从最远的节点出发 d[leaf] = 0, dfs(leaf, 0);printf("%d\n", d[leaf]);return 0;
}

如果它叫你输出树的直径上的节点怎么办呢？很简单，直接从 leaf 向上遍历就行。在第二次 dfs 时可以这样：

void dfs(int u, int fa, int time) {if (time == 2) f[u] = fa;for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {int v = g[u][i];if (v == fa) continue;d[v] = d[u] + 1;// 更新最远距离节点 if (d[v] > d[leaf]) leaf = v;dfs(v, u, time);}
}

time 是我们新增的参数，方便处理每个节点的父亲，这样就可以从 leaf 开始，一步一步地去访问树的直径的下一个节点。

在主函数增加这个代码：

for (int i = leaf; i; i = f[i])printf("%d ", i);

这就是输出，虽然会输出 (树的直径 + 1) 个节点，但其实就是树的直径条边。

如果还有边权，就直接把 d[v] = d[u] + 1 改成 d[v] = d[u] + edge，其中 edge 是边权。

总结

两次 dfs 的做法固然简便，但是，它也有个致命的缺点，就是 如果遇到负边权，那么直接 GG。

所以我们就要引出我们的 dp 做法啦。

dp 做法

(1) 开两个数组的 dp 做法

我们记 \(d_1\) 为每个节点作为子树的根向下所能延伸的最长路径长度，而 \(d_2\) 则是每个节点作为子树的根向下所能延伸的次长路径长度，但是 \(d_2\) 和 \(d_1\) 的路径没有公共边。所以说树的直径就是 \(\max \left \{ d_2 + d_1\right \}\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;int read() {int x = 0, f = 1; char ch = getchar();while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while (isdigit(ch)) {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * f;
}const int maxn = 100005;
int n, c;
int d1[maxn], d2[maxn], d;
vector<int> g[maxn];void dp(int u, int fa) {d1[u] = d2[u] = 0;for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {int v = g[u][i];if (v == fa) continue;dp(v, u);int t = d1[v] + 1;if (t > d1[u]) {d2[u] = d1[u];d1[u] = t;}else if (t > d2[u])d2[u] = t;}d = max(d, d1[u] + d2[u]);
}int main() {n = read();for (int i = 1; i < n; i++) {int u = read(), v = read();g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dp(1, 0);printf("%d\n", d);return 0;
}

(2) 开一个数组的 dp 做法

(1) 的做法，有个显而易见的缺点，就是空间复杂度大，数据一大就 GG。

所以我们采用 树形dp。设 \(dp_u\) 表示从 \(u\) 出发的最长路径。

其状态转移方程为 \(dp_u = \max (dp_u, dp_v + edge(u, v))\)，其中 \(v\) 为 \(u\) 的子节点，\(edge(u,v)\) 代表 \(u\) 和 \(v\) 之间的边权。而树的直径，可以看作从一个节点出发，不同的两条路径加起来的和取最大值，所以我们有：\(d = \max(d, dp_u + dp_v + edge(u, v))\)，其中 \(d\) 是树的直径，这个转移要放在 \(dp_u\) 的转移之前。因为如果放在后面，假设 \(dp_u = dp_v + edge(u, v)\)，那么同一条便会被算两次，使得答案不正确。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;int read() {int x = 0, f = 1; char ch = getchar();while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while (isdigit(ch)) {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * f;
}const int maxn = 100005;
int n, c;
int d, dp[maxn];
vector<int> g[maxn];void dfs(int u, int fa) {for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {int v = g[u][i];if (v == fa) continue;dfs(v, u);d = max(d, dp[u] + dp[v] + 1);dp[u] = max(dp[u], dp[v] + 1);}
}int main() {n = read();for (int i = 1; i < n; i++) {int u = read(), v = read();g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dfs(1, 0);printf("%d\n", d);return 0;
}

(注意: 这里边权假设都是 \(1\)，具体要看各个题目的要求)