2025西安交大集训Day1:二分,三分,哈希,高精度,位运算,模拟退火

2025西安交大集训Day1:二分,三分,哈希,高精度,位运算,模拟退火

二分

详见2025dsfz集训Day2：二分与三分,三分在当前文章内已经重构过。

三分

三分算法详细解释

三分算法（Ternary Search）是一种用于在单峰函数（即函数在某一点左侧单调递增，右侧单调递减，或者相反）上寻找极值（最大值或最小值）的算法。它的基本思想是通过不断缩小搜索范围来逼近极值点。

算法步骤：

1. 确定搜索范围：首先确定一个区间 \([left, right]\)，确保极值点在这个区间内。
2. 计算中间点：将区间分为三部分，计算两个中间点 \(mid1\) 和 \(mid2\)：

• \(mid1 = left + (right - left) / 3\)
• \(mid2 = right - (right - left) / 3\)

3. 比较函数值：比较 \(f(mid1)\) 和 \(f(mid2)\) 的大小：

• 如果 \(f(mid1) < f(mid2)\)，则极值点在 \([left, mid2]\) 区间内，更新 \(right = mid2\)。
• 如果 \(f(mid1) > f(mid2)\)，则极值点在 \([mid1, right]\) 区间内，更新 \(left = mid1\)。
• 如果 \(f(mid1) == f(mid2)\)，则极值点在 \([mid1, mid2]\) 区间内，更新 \(left = mid1\) 和 \(right = mid2\)。

4. 重复步骤2和3：直到区间 \([left, right]\) 足够小，或者达到预定的精度要求。
5. 返回结果：返回 \((left + right) / 2\) 作为极值点的近似值。

举例说明：

假设我们有一个凹函数 \(f(x) = (x - 3)^2\)，我们希望在区间 \([0, 6]\) 上找到最小值。

1. 初始区间 \([left, right] = [0, 6]\)。
2. 计算 \(mid1 = 0 + (6 - 0) / 3 = 2\)，\(mid2 = 6 - (6 - 0) / 3 = 4\)。
3. 计算 \(f(mid1) = (2 - 3)^2 = 1\)，\(f(mid2) = (4 - 3)^2 = 1\)。
4. 由于 \(f(mid1) == f(mid2)\)，更新 \(left = 2\)，\(right = 4\)。
5. 重复步骤2和3，直到区间足够小。

最终，我们会发现最小值出现在 \(x = 3\)。

凹函数求最小值的模板代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>using namespace std;// 定义凹函数 f(x) = (x - 3)^2
double f(double x) {return (x - 3) * (x - 3);
}// 三分算法求解凹函数最小值
double ternary_search(double left, double right, double eps) {while (right - left > eps) {double mid1 = left + (right - left) / 3;double mid2 = right - (right - left) / 3;if (f(mid1) < f(mid2)) {right = mid2;} else {left = mid1;}}return (left + right) / 2;
}int main() {double left = 0.0;double right = 6.0;double eps = 1e-6; // 精度要求double result = ternary_search(left, right, eps);cout << "最小值出现在 x = " << fixed << setprecision(6) << result << endl;cout << "最小值为 f(x) = " << fixed << setprecision(6) << f(result) << endl;return 0;
}

代码解释：

1. 函数 \(f(x)\)：定义了我们要最小化的凹函数 \(f(x) = (x - 3)^2\)。
2. \(ternary_search\) 函数：实现了三分算法，通过不断缩小搜索范围来逼近最小值点。
3. \(main\) 函数：设置初始搜索区间 \([0, 6]\) 和精度要求 \(eps = 1e-6\)，调用 \(ternary_search\) 函数并输出结果。

输出结果：

最小值出现在 x = 3.000000
最小值为 f(x) = 0.000000

这个结果与我们的预期一致，最小值出现在 \(x = 3\)，最小值为 \(0\)。

哈希

详见我的字符串哈希学习笔记。

位运算

没啥好说的。

模拟退火