CF1672I PermutationForces 题解

Description

给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(p_1,p_2,\ldots,p_n\)，你可以进行如下操作若干次：

• 选择 \(1\leq i\leq |p|\) 满足 \(|i-p_i|\leq m\)；
• 对于所有 \(1\leq j\leq |p|\) 的 \(j\)，若满足 \(p_i<p_j\)，则 \(p_j\leftarrow p_j-1\)；
• 之后删去 \(p_i\)，\(p\) 后面的元素向前补位。

求最小的 \(m\) 使经过 \(n\) 次操作能将 \(p\) 删空。

\(1\leq n\leq 5\times 10^5\)。

Solution

首先会有一个想法是每次选择 \(|i-p_i|\) 最小的进行操作，这么做我们可能会担心操作顺序的影响。但是可以证明这么做就是对的。

不妨设 \(f_i=|i-p_i|\)，且 \(i<p_i\)，考虑分讨 \(j\) 和 \(p_j\) 的取值。有如下几种可能：

1. \(i<j<p_j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j+1\)。
2. \(i<p_j<j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
3. \(j<i<p_j<p_i\)，\(f_j\) 不变。
4. \(p_j<i<j<p_i\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
5. \(j<i<p_i<p_j\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
6. \(p_j<i<p_i<j\)，\(f_j\) 变为 \(f_j-1\)。
7. \(i<j<p_i<p_j\)，\(f_j\) 不变。
8. \(i<p_j<p_i<j\)，\(f_j\) 不变。
9. \(i<p_i<j<p_j\)，\(f_j\) 不变。
10. \(i<p_i<p_j<j\)，\(f_j\) 不变。

观察这些情况可以发现对于 \(f_j\leq f_i\) 的所有情况，操作后都不会大于 \(f_i\)。而对于 \(f_j>f_i\) 的情况，操作后 \(f_j\) 都不会变大。

所以每次贪心地选择 \(f_i\) 最小的 \(i\) 进行操作一定不劣。

暴力维护这个东西是 \(O(n\log^2n)\) 或者 \(O(n\sqrt n)\)，不太能过。

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考虑优化。

容易发现在操作的过程中 \(f_j\) 的正负性一定不会改变，因为在 \(f_j=0\) 的时候才会变，但这时一定是能选择 \(f_i=0\) 的操作，所以操作完 \(j\) 和 \(a_j\) 的变化量一定相同，\(f_j\) 也就不变了。

所以我们对于 \(i\leq a_i\) 和 \(i>a_i\) 单独处理。

对于 \(i\leq a_i\) 的情况。将 \((i,a_i)\) 看成坐标系上的点，那么如果存在 \(j>i,a_j<a_i\)，即 \(f_i\) 在 \(j\) 删掉之前一定不会比 \(f_j\) 更优。所以 \(f_i\) 可能成为答案当且仅当 \((i,a_i)\) 右下方没有点。

考虑只把可能成为答案的点拿出来，那么这些点都是 \(a_i\) 的后缀最小值，且构成一个从左下到右上的递增点列。

由于这个具有单调性，所以用线段树维护这个递增的点列上每个点的答案。

每次删掉一个点后还要更新后缀最小值，容易发现每次只需要暴力在前驱和后继之间找最小值，然后递归即可。

显然每个点在加入之后不会再被删除。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>// #define int int64_tusing pii = std::pair<int, int>;const int kMaxN = 5e5 + 5;int n, ans;
int a[kMaxN];
std::set<int> st1, st2;
std::set<pii> st3, st4;struct BIT {int c[kMaxN];void upd(int x, int v) {for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += v;}int qry(int x) {int ret = 0;for (; x; x -= x & -x) ret += c[x];return ret;}
} bit1, bit2;struct SGT {int N;pii mi[kMaxN * 4];void pushup(int x) {mi[x] = std::min(mi[x << 1], mi[x << 1 | 1]);}void build(int n) {for (N = 1; N <= n + 1; N <<= 1) {}std::fill_n(mi, 2 * N, pii{1e9, 0});}void update(int x, pii v) {mi[x += N] = v;for (x >>= 1; x; x >>= 1) pushup(x);}pii query(int l, int r) {if (l > r) return {1e9, 0};pii ret = {1e9, 0};for (l += N - 1, r += N + 1; l ^ r ^ 1; l >>= 1, r >>= 1) {if (~l & 1) ret = std::min(ret, mi[l ^ 1]);if (r & 1) ret = std::min(ret, mi[r ^ 1]);}return ret;}
} sgt1, sgt2;struct SGT_s {pii mi[kMaxN * 4];int tag[kMaxN * 4];void pushup(int x) {mi[x] = std::min(mi[x << 1], mi[x << 1 | 1]);}void addtag(int x, int v) {mi[x].first += v, tag[x] += v;}void pushdown(int x) {if (tag[x]) {addtag(x << 1, tag[x]), addtag(x << 1 | 1, tag[x]);tag[x] = 0;}}void build(int x, int l, int r) {if (l == r) return void(mi[x] = {1e9, l});int mid = (l + r) >> 1;build(x << 1, l, mid), build(x << 1 | 1, mid + 1, r);pushup(x);}void update1(int x, int l, int r, int ql, int v) {if (l == r) return void(mi[x].first = v);pushdown(x);int mid = (l + r) >> 1;if (ql <= mid) update1(x << 1, l, mid, ql, v);else update1(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, v);pushup(x);}void update2(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {if (l > qr || r < ql) return;else if (l >= ql && r <= qr) return addtag(x, v);pushdown(x);int mid = (l + r) >> 1;update2(x << 1, l, mid, ql, qr, v), update2(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr, v);pushup(x);}
} sgt3, sgt4;void rebuild1(int l, int r, int suf) {for (; l <= r;) {auto p = sgt1.query(l, r);// if (p.second) assert(p.first == a[p.second]);if (!p.second || p.first > suf) return;int x = p.second;st1.emplace(x), st3.emplace(a[x], x);sgt3.update1(1, 1, n, x, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));l = x + 1;}
}void rebuild2(int l, int r, int pre) {for (; l <= r;) {auto p = sgt2.query(l, r);// if (p.second) assert(p.first == -a[p.second]);if (!p.second || a[p.second] < pre) return;int x = p.second;st2.emplace(x), st4.emplace(a[x], x);sgt4.update1(1, 1, n, x, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));r = x - 1;}
}void upd(int x) {sgt3.update2(1, 1, n, x, n, 1), sgt4.update2(1, 1, n, x, n, -1);auto it1 = st3.lower_bound({a[x], x}), it2 = st4.lower_bound({a[x], x});if (it1 != st3.end()) sgt3.update2(1, 1, n, it1->second, n, -1);if (it2 != st4.end()) sgt4.update2(1, 1, n, it2->second, n, 1);bit1.upd(x, 1), bit2.upd(a[x], 1);
}void work(int x) {ans = std::max(ans, abs((x - bit1.qry(x)) - (a[x] - bit2.qry(a[x]))));if (x <= a[x]) {sgt1.update(x, {1e9, 0});st1.erase(x), st3.erase({a[x], x});sgt3.update1(1, 1, n, x, 1e9);auto it = st1.lower_bound(x);int nxt = *it, pre = *--it;rebuild1(pre + 1, nxt - 1, nxt == n + 1 ? (int)1e9 : a[nxt]);upd(x);} else {sgt2.update(x, {1e9, 0});st2.erase(x), st4.erase({a[x], x});sgt4.update1(1, 1, n, x, 1e9);auto it = st2.lower_bound(x);int nxt = *it, pre = *--it;rebuild2(pre + 1, nxt - 1, a[pre]);upd(x);}// std::cerr << x << ' ' << ans << ' ' << st3.size() << ' ' << st4.size() << '\n';
}void prework() {st1.emplace(0), st1.emplace(n + 1);st2.emplace(0), st2.emplace(n + 1);sgt1.build(n), sgt2.build(n);sgt3.build(1, 1, n), sgt4.build(1, 1, n);for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (i <= a[i]) sgt1.update(i, {a[i], i});else sgt2.update(i, {-a[i], i});}rebuild1(1, n, 1e9), rebuild2(1, n, 0);
}void dickdreamer() {std::cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];prework();for (int i = 1; i <= n; ++i) {work(std::min(sgt3.mi[1], sgt4.mi[1]).second);}std::cout << ans << '\n';
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;// std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}