Description
有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，求 \(\displaystyle\max_{1\leq i<j\leq n}(\text{lcm}(a_i,a_j))\)。
\(n,a_i\leq 10^5\)。
Solution
先枚举 \(d=\gcd(a_i,a_j)\)，题目转化求序列中互质的一对数的乘积的最大值。
考虑从大到小枚举 \(a_i\)，同时维护一个单调栈表示可能成为答案的互质数对的数。
如果当前栈里面存在一个数 \(x\) 和 \(a_i\) 互质，则所有小于 \(x\) 的数一定不可能成为答案，暴力弹栈找到最大的 \(x\) 即可。
但是如果里面不存在的话暴力弹栈复杂度是错的。
考虑怎么判断里面是否存在和 \(a_i\) 互质的数。
这等价于求 \(\sum{\varepsilon(\gcd(a_i,a_j))}=\sum_{d|a_i}\mu(d)\sum[d|a_j]\)，维护单调栈时对于所有 \(a_j\) 的因数修改即可。
时间复杂度：\(O(n\log^2V)\)。
但是还可以更优。注意到 \(\text{lcm}(a_i,a_j)=a_i\times\frac{a_j}{\gcd(a_i,a_j)}\)，由于 \(a_i\) 和 \(a_j/\gcd(a_i,a_j)\) 互质，所以把所有 \(a_i\) 的因数加入序列再做上面的做法答案也是对的。
时间复杂度：\(O(V\log V)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>// #define int int64_tconst int kMaxN = 1e5 + 5;int n, mx; int64_t ans;
int a[kMaxN], mu[kMaxN], s[kMaxN];
bool exi[kMaxN];
std::vector<int> d[kMaxN];void prework(int n = mx) {static int prime[kMaxN];static bool vis[kMaxN];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = i; j <= n; j += i)d[j].emplace_back(i);int m = 0;mu[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i) {if (!vis[i]) {mu[i] = -1, prime[++m] = i;}for (int j = 1; j <= m && i * prime[j] <= n; ++j) {int x = i * prime[j];vis[x] = 1;if (i % prime[j]) mu[x] = -mu[i];else break;}}
}void upd(int x, int v) {for (auto i : d[x]) s[i] += v * mu[i];
}int get(int x) {int ret = 0;for (auto i : d[x]) ret += s[i];return ret;
}void dickdreamer() {std::cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) {std::cin >> a[i];mx = std::max(mx, a[i]);if (exi[a[i]]) ans = std::max<int64_t>(ans, a[i]);exi[a[i]] = 1;}prework();for (int i = mx; i; --i)for (int j = 2 * i; j <= mx; j += i)exi[i] |= exi[j];static int stk[kMaxN];int top = 0;for (int i = mx; i; --i) {if (!exi[i]) continue;if (get(i)) {while (true) {for (; top && std::__gcd(i, stk[top]) != 1; --top) upd(stk[top], -1);assert(top);ans = std::max<int64_t>(ans, 1ll * i * stk[top]);upd(stk[top], -1);if (get(i)) {--top;} else {upd(stk[top], 1);break;}}}stk[++top] = i, upd(i, 1);}std::cout << ans << '\n';
}int32_t main() {
#ifdef ORZXKRfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifstd::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);int T = 1;// std::cin >> T;while (T--) dickdreamer();// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";return 0;
}
