[CF 1870E] Another MEX Problem

思路

给你一个序列 \(a\), 让你选出一些不交的子段, 使得它们的 \(\rm{MEX}\) 的异或和最大

不难发现因为是异或和, 可以简单转化成 \(\mathcal{O} (n^3)\) 的可行性 \(\rm{dp}\)
然后我进行了对固定右端点 \(r\) 一些优化尝试, 发现都比较寄

然后发现这个题, 它, 对, 右端点, 进行优化了

然后就比较难受, 所以自己推一遍
首先掏一个平凡的转移

\[f_{i, j} \stackrel{k}{\longleftarrow} f_{k - 1, j \oplus \text{mex}\{k, i\}} \]

没错, 现找题解捞的

然后进行一些手推, 不难发现对于固定的 \(i\), 我们可以把 \(\text{mex}\{k, i\}\) 看成下面的形式

在此基础上, 我们不难发现对于同颜色的一段, 我们可以统一对其取可行性, 显然的, 我们可以只取其右端点, 不然实际上仍然不好考虑
本质上是对于 \(f_{i, j}\) 来说, 提取 \(j\) 对应的函数 \(f_j (i)\) 一定是一个先 \(0\) 后 \(1\) 的函数

也就是我们把问题简化到了这样

考虑随着 \(i\) 的变换, 这些右端点会有什么变化呢
考虑对于 \(\text{mex} = c \in [1, n]\) 都维护一个右端点, 只不过有些右端点和左端点重合, 也就类似于这样

考虑这些点随着 \(i\) 的变换怎样变化

形式上来讲, 一些原本并不存在的点会被提出来, 而一些原本存在的点会消失, 而其他的点则不会发生任何变化

因此不难发现我们继承上一个点的状态之后, 只要考虑新出现的点即可, 而那些消失的点则可以直接忽略, 因为你也没有什么操作

那么消失之后再次出现这种情况会不会有影响? 发现可以不再考虑, 因为能转移的都在第一次出现时转移了
形式化的来讲, 就是找到第一次出现的位置

于是终于出现了子问题

子问题

分析题目

给定点 $r$, 要求所有符合要求的点 $l$, 使得区间 $[l, r]$ 满足

区间 $[l, r]$ 是 $r$ 最小, $l$ 最大的区间使得区间 $\text{mex} = k$

找初步性质

满足要求的区间有多少

假设我们现在有一个好区间 $[l,r]$, 他的 $MEX\neq 0$
我们假设 $a_l > a_r$, 因为 $a_l < a_r$ 可以类似地讨论
显然, $a_l\neq a_r$, 除非 $a_l=0$

显然有 $MEX(l,r) > a_l$, 因为 $MEX(l,r)$ 肯定不能等于 $a_l$, 而且如果 $MEX(l,r) < a_l$, 就可以把 $a_l$ 踢出去, 那么 $[l,r]$ 就不是一个好区间

我们假设有一个 $r_1 > r$, 使得 $[l,r_1]$ 是一个好区间, 且 $a_l > a_{r_1}$

这样可能吗? 不可能
因为 $a_l < MEX(l,r),a_{r_1} < a_l$, 所以 $a_{r_1} < MEX(l,r)$
这就说明, $a_{r_1}$ 已经在 $[l,r]$ 中出现了, 不会产生任何贡献, 所以 $[l,r_1]$ 不是一个好区间

所以我们就证明了, 对于每个 $l$, 至多有一个 $r$, 使得 $a_l > a_r$ 且 $[l,r]$ 是一个好区间
同时, 这也说明了, 对于每个 $r$, 至多有一个 $l$, 使得 $a_l < a_r$ 且 $[l,r]$ 是一个好区间

而且, 如果 $a_i=0$, 那么 $i$ 一定不会是上面那两种好区间的端点, 但 $[i,i]$ 本身就是一个好的区间, 它的 $MEX$ 为 $1$

综上, 好的区间最多只有 $2n$ 个

如何处理

直接枚举即可, 然后在基础上做转移
类似于这样

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = i; j <= n; j++)if(mex[i][j] != mex[i + 1][j] && mex[i][j] != mex[i][j - 1]) l[j].push_back(i);

总结

这种分段转移问题, 往往可以尝试贪心, 当然直接维护也不失为一种方法
最关键的性质

提取 \(j\) 对应的函数 \(f_j (i)\) 一定是一个先 \(0\) 后 \(1\) 的函数

拥有这种性质的问题, 往往可以大胆地联想到不同 \(r\) 的优化, 也就是变化量这样的

子问题提取法, 谢谢谢谢谢