2025年3月杂题集

2025年3月杂题集

目录

• P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树
• P6018 [Ynoi2010] Fusion tree
• AT_abc391_g [ABC391G] Many LCS
• P10614 BZOJ3864 Hero meet devil
• P11844 [USACO25FEB] Friendship Editing G
• AT_abc314_g [ABC314G] Amulets
• AT_abc238_g [ABC238G] Cubic?
• AT_abc235_g [ABC235G] Gardens

P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树

题目大意：给定一棵有根树，对于每个点 \(x\) 求其子树内每个点的「权值与到 \(x\) 距离的和」的异或和。

我们可以考虑自底往上做，用 01-Tire 维护子树内的异或和，每到达一个新的点就将权值插入到 Trie 中，同时合并每个儿子的 Tire。

那么现在的问题是对 Trie 上的数全局加 \(1\) 后维护异或和。考虑全局加 \(1\) 就是把一个数的低位若干个 \(1\) 变成 \(0\) 然后再补上一个 \(1\)。那么从低位往高位建 01-Trie。只要一直递归 \(1\) 的边，然后对于走到的每一个点把 \(0\) 边的儿子挪到 \(1\) 边即可。

实现上就是先交换左右儿子，然后递归 \(0\) 边。这样我们就把 \(O(\log V)\) 全局加 \(1\) 做完了。

另外对于合并 Trie 就像线段树合并那样做即可，用线段树合并的复杂度分析，复杂度一个 $\log $。

P6018 [Ynoi2010] Fusion tree

做法依旧是全局加 \(1\) 的 01-Tire。固定根以后，我们的 01-Trie 只维护儿子的，然后父亲的权值就暴力改。改一个点的权值时，记得要把父亲的 Trie 也改了，加一个点的儿子时需要在这个点打上懒标记用于求某个儿子的值。

AT_abc391_g [ABC391G] Many LCS

DP 套 DP。

考虑设 \(f_{i,j}\) 表示大串 \(T\) 匹配到第 \(i\) 个数，\(S\) 匹配到第 \(j\) 个数时最长公共子序列。

有转移：

\[f_{i,j}\to f_{i+1,j} \]

\[f_{i,j}\to f_{i,j+1} \]

\[f_{i,j}+[T_{i+1}=S_{j+1}]\to f_{i+1,j+1} \]

我们发现有性质：对于 \(f_i\)，相邻 \(j\) 的 \(f_{i,j}\) 差分为 \(0\) 或 \(1\)，于是可以用一个二进制数表示 \(f_i\)。

因为对于不同的 \(i\) 没有额外的限制，所以可以 \(O(2^nn\sum)\) 求出每一种 \(f_i\) 加上一个新字符后转移到哪一个 \(f_i'\)，其实就是构建了一个自动机。其中 \(\sum\) 代表字符集大小。

然后就在自动机上做 \(m\) 轮转移即可，复杂度 \(O(2^nm\sum)\)。

P10614 BZOJ3864 Hero meet devil

和上面那道题是一模一样的。

AT_abc293_h [ABC293Ex] Optimal Path Decomposition

考虑二分答案，然后就变成了判断可行性。

设 \(f_{i,0/1/2}\) 表示点 \(i\) 已经与其 \(0/1/2\) 个儿子颜色相同时，要使子树合法的，从 \(i\) 出发的最小路径颜色数。

那么转移枚举儿子，然后看是否与儿子颜色相同，对于儿子 \(v\)，只有 \(f_{v,0/1}\) 能参与转移。

那么有转移：

• 选为不同颜色，当 \(f_{x,i}+f_{v,j}\le K\) 时，\(f'_{x,i}\gets\max(f_{x,i},f_{v,j}+1)\)。
• 选为相同颜色，当 \(f_{x,i}+f_{v,j}-1\le K\) 时，\(f'_{x,i+1}\gets \max(f_{x,i},f_{v,j})\)。

最后判断根节点是否合法即可。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

P11844 [USACO25FEB] Friendship Editing G

首先特判掉没有边的情况，否则整张图连通。

然后考虑题目要求的限制即任意两个点的最短路小于或等于 \(2\)。

假设确定一个点 \(x\)，和与 \(x\) 最短路为 \(1\) 的点集 \(S_1\)，与 \(x\) 最短路为 \(2\) 的点集 \(S_2\)。

有如下连边规律：

• \(S_1\) 中的点与 \(x\) 都有边， 否则最短路不为 \(1\)。
• \(S_2\) 中的点与 \(x\) 都没有边，否则最短路不为 \(2\)。
• \(S_2\) 中的点两两之间都没有边，否则有一条边则 \(x\) 与这条边的端点无边，不符合题意。
• \(S_2\) 中的点每个点与 \(S_1\) 中的每个点都有边，否则对于 \(y\in S_1,z\in S_2\)，因为 \(x,y\) 一定有一条边，如果 \(y,z\) 之间无边则不符合题意。
• \(S_1\) 中的边成为一个子问题。

如果枚举 \(x\)，再枚举 \(S_2\) 是会算重的，但我们发现 \(x\) 与 \(S_1\) 的关系、\(S_2\) 与 \(S_1\) 的关系是相同的，所以可以把 \(x\) 并入 \(S_2\)。

那么就是一个枚举子集的 DP。

现在问题是求边数，求一个点集内部的边 \(F_S\) 直接暴力地做即可，复杂度 \(O(2^nm)\)；求点集 \(S\) 与点集 \(T\) 之间的边数可以用 \(F\) 容斥，即 \(F_{S\cup T}-F_S-F_T\)。

总复杂度 \(O(3^n)\)。

AT_abc314_g [ABC314G] Amulets

对于每个前缀，求出如果都击杀那么所需的最小护符个数。

那么用两个 set 维护使用护符击杀的（\(S\)）与通过扣血击杀的（\(T\)）。

每当扣血量大于等于 \(H\) 时可以先考虑交换 \(S\) 中的最小值与 \(T\) 中的最大值。如果还是不行就增加一的护符数。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

AT_abc238_g [ABC238G] Cubic?

考虑哈希，首先对于每一个数分解质因数。我们给每一个质数随机两个权值 \(v_1,v_2\)，然后循环赋值 \(v_1,v_2,v_1\oplus v_2\)。

这样就可以保证每个质数出现三的倍数次后异或和必为 \(0\)，那么预处理一个前缀和后就可以 \(O(1)\) 处理询问。

时间复杂度 \(O(V\log V)\)。

AT_abc235_g [ABC235G] Gardens

考虑容斥，我们枚举一个 \(i\)，表示指定 \(i\) 个盒子必为空。则答案为：

\[\sum _{i=0}^n(-1)^i\sum _{j=0}^A\binom {n-i} j\sum_{j=0}^B\binom {n-i} j\sum _{j=0}^C \binom{n-i}j \]

考虑设 \(f_i=\sum _{j=0}^A \binom {i} {j}\)。我们需要递推 \(f_i\)，由于 \(\binom i j=\binom {i-1}{j-1}+\binom {i-1} j\)，所以可以得到 \(f_i=2\times f_{i-1}-\binom A{i-1}\)。

复杂度 \(O(n\log n)\)。