【STL】平衡二叉树

前言

对于之前普通的二叉搜索树，其搜索的效率依靠树的形状来决定，如下：

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可以看到 A图 中的树比较彭亨，搜索一个元素的效率接近 O(logN) ；而 B图 中的形状也符合搜索二叉树，但是很不平衡，这时的搜索效率就变成 O(N) 了（如搜索值为4的节点）

可以看到，如果搜索二叉树不平衡，他的搜索的效率不确定，在 O(logN) 和 O(N) 之间，可能有暴击；

那么对此，既然不平衡，那我们就给出平衡的两种方法：

1.构成AVL树

2.构成红黑树

这两种方法都是为了平衡搜索二叉树而生

AVL树

1. AVL树的概念和性质

它的出现是为了 搜索二叉树的平衡，那就来了解AVL树的概念和性质，也就是什么是AVL，并且作为一颗AVL树的要求是什么

首先AVL树是一颗树，它要求任何一个节点的左右子树的高度差不超过一，以此来保证平衡，是AVL树的核心

来看看它的做法

与搜索二叉树不同，它将二叉链，变成了三叉链（多了指向父节点的指针），并且引入了平衡因子这个东西；这些都是为了方便并且为了树的一个平衡引入

三叉链和平衡因子和下面AVL树属性的图结合起来看更直观

三叉链也就是多了一个 parent指针 指向该节点的父节点，这一操作可以让节点找到其祖先

平衡因子是指该节点的 右子树高度 减去 左子树高度的值，而根据AVL树的性质（要求任何一个节点的左右子树的高度差不超过一），也就是平衡因子 _bf 的值域为 { -1, 0, 1 } ，如果平衡因子 _bf 的值出现为 2 或者 -2 ，说明该树已经不平衡，此时需要进行停止调整，先进行旋转操作

2. AVL树类的属性

这里的节点值类型简化为了int类型，原为 pair

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3. AVL树的插入函数

而AVL树的重点呢，也就是AVL树是如何让树达到平衡的呢？就是每插入了一个节点后，进行了一些调整，如果插入节点后不平衡，那么会将其调整成平衡

插入后对插入节点祖先的平衡因子进行调整，当调整过程中，有平衡因子出现异常时，此时通过旋转的方式，让树继续保持平衡

当平衡因子出现异常即是 平衡因子的值更新为 2 或者 -2 时，说明树现在已经不平衡，需要进行旋转

分情况讨论：

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现在平衡因子已经出现了不平衡，为什么旋转之后，树就可以继续平衡呢？

具体看到旋转 （这里以左单旋为例）：

定义节点指针 parent（图中的节点值为30）， cur（图中的60）

左单旋是将 cur 的左孩子给给 parent 的右， 再把 parent 赋值给 cur 的左，旋转完成

再进行平衡因子的更新：parent 和 cur 的平衡因子 _bf 都变成 0

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左单旋具体代码如下：

        void RotateL(Node* parent){assert(parent);Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;// 改变节点之间的关系parent->_right = cur_left;cur->_left = parent;// 改变_parent的指向//原本 parent 的 _parentNode* ppNode = parent->_parent;//若原本 ppNode（原本 parent 的 _parent）为空，说明parent原本不是根，现需把             ppNode 给到 cur 的 _parent，并且把 ppNode 的子更新为 curif (ppNode){if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}//若原本 parent->_parent 为空，说明parent原本是根，现需把_root更新为根else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}if (cur_left){cur_left->_parent = parent;}parent->_parent = cur;// 更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}

对左单旋的总结是：当不平衡的树进行左单旋之后，树又被调整为平衡，然后再进行平衡因子的更新

那么右单旋的思路是一样的，自己可以进行推理

而要进行双旋时候，可以再进行讨论（这里以右左旋进行讨论）：

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右左旋：定义 parent（下图节点值为30）， cur（下图节点值为90）， cur_left（下图节点值为60）

双旋都是两大步，这里右左旋就是先进行右旋，再进行左旋，旋转结束；对，这里对刚刚实现的单旋代码进行了复用，复用yyds

具体是对 cur 先进行右旋，再对 parent 进行左旋，如下

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最后进行平衡因子的调整，但是这里特别容易忘记第三种情况的讨论，AVL树的这个细节得注意：

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右左旋的代码如下：

        void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;int bf = cur_left->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;cur_left->_bf = 0;if (bf == -1){cur->_bf = 1;}if (bf == 1){parent->_bf = -1;}}

那么左右旋的思路是一样的，自己可以进行推理

4. 总结

而进行何种旋转本质是取决于 parent cur 和 cur_left （或cur_right）之间的关系，若他们三个所连成的是直线，那么进行单旋操作，如果为折线，那就进行双旋操作；而这里的平衡因子刚好可以体现他们之间的关系，所以上图中根据平衡因子来决定单双旋和左右旋转

AVL树构造和插入函数，测试函数：

这里的节点值类型简化为了int类型，原为 pair

#pragma once#include <iostream>using namespace std;#include <string>#include <array>#include <deque>#include <list>#include <map>#include <queue>#include <set>#include <stack>#include <unordered_map>#include <unordered_set>#include <vector>#include <algorithm>#include <assert.h>#include <windows.h>#include <ctime>namespace zhuandrong
{class AVLTreeNode{typedef AVLTreeNode Node;public:int _val;Node* _left;Node* _right;Node* _parent;int _bf;public:AVLTreeNode(const int val = 0): _val(val), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}};class AVLTree{typedef AVLTreeNode Node;protected:void RotateL(Node* parent){assert(parent);Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;// 改变节点之间的关系parent->_right = cur_left;cur->_left = parent;// 改变_parent的指向//原本 parent 的 _parentNode* ppNode = parent->_parent;//若原本 ppNode（原本 parent 的 _parent）为空，说明parent原本不是根，现需把 ppNode 给到 cur 的 _parent，并且把 ppNode 的子更新为 curif (ppNode){if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}//若原本 parent->_parent 为空，说明parent原本是根，现需把_root更新为根else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}if (cur_left){cur_left->_parent = parent;}parent->_parent = cur;// 更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}//void RotateL(Node* parent)//{//	Node* cur = parent->_right;//	Node* cur_left = cur->_left;//	parent->_right = cur_left;//	cur->_left = parent;//	Node* ppNode = parent->_parent;//	if (cur_left)//右孩子可能存在，也可能不存在，所以需要判断，需要在parent改变前判断//	{//		cur_left->_parent = parent;//	}//	parent->_parent = cur;//	if (parent == _root)//parent可能是根节点，也可能不是根节点//	{//		_root = cur;//		cur->_parent = nullptr;//	}//	else//	{//		if (ppNode->_left == parent)//		{//			ppNode->_left = cur;//		}//		else//		{//			ppNode->_right = cur;//		}//		cur->_parent = ppNode;//	}//	cur->_bf = parent->_bf = 0;//将平衡因子调整//}void RotateR(Node* parent){assert(parent);Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;// 改变节点之间的关系parent->_left = cur_right;cur->_right = parent;// 改变_parent的指向//原本 parent 的 _parentNode* ppNode = parent->_parent;//若原本 ppNode（原本 parent 的 _parent）为空，说明parent原本不是根，现需把 ppNode 给到 cur 的 _parent，并且把 ppNode 的子更新为 curif (ppNode){if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}//若原本 parent->_parent 为空，说明parent原本是根，现需把_root更新为根else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}if (cur_right){cur_right->_parent = parent;}parent->_parent = cur;// 更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}//void RotateR(Node* parent)//{//	Node* cur = parent->_left;//	Node* curRight = cur->_right;//	parent->_left = curRight;//	cur->_right = parent;//	Node* ppNode = parent->_parent;//	if (curRight)//右孩子可能存在，也可能不存在，所以需要判断，需要在parent改变前判断//	{//		curRight->_parent = parent;//	}//	parent->_parent = cur;//	if (parent == _root)//parent可能是根节点，也可能不是根节点//	{//		_root = cur;//		cur->_parent = nullptr;//	}//	else//	{//		if (ppNode->_left == parent)//		{//			ppNode->_left = cur;//		}//		else//		{//			ppNode->_right = cur;//		}//		cur->_parent = ppNode;//	}//	cur->_bf = parent->_bf = 0;//将平衡因子调整//}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;int bf = cur_left->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);/*parent->_bf = cur_left->_bf = 0;cur->_bf = flag;*/parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;cur_left->_bf = 0;if (bf == -1){cur->_bf = 1;}if (bf == 1){parent->_bf = -1;}}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int bf = cur_right->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);/*parent->_bf = parent->_parent->_bf = 0;parent->_parent->_left->_bf = -1;*/cur->_bf = 0;parent->_bf = 0;cur_right->_bf = 0;if (bf == 1){cur->_bf = -1;}if (bf == -1){parent->_bf = 1;}}protected:Node* _root;public:AVLTree(): _root(nullptr){}AVLTree(vector<int> v){for (auto& e : v){if (e == 8){int i = 0;}insert(e);assert(IsBalance());}}bool insert(int val){// 判断是否有根节点if (_root){//先找到合适的插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (val < cur->_val){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (val > cur->_val){parent = cur;cur = cur->_right;}else{cout << "插入的元素值已重复" << endl;return false;}}cur = new Node(val);cur->_parent = parent;if (val < parent->_val){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//对平衡因子进行更新while (parent){if (cur == parent->_left){--parent->_bf;}else if (cur == parent->_right){++parent->_bf;}//若 parent->_bf == 0，表明平衡因子调整结束if (!parent->_bf){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}//若parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1，将parent进行左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);break;}//若parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1，将parent进行右左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);break;}//若parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1，将parent进行右单旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);break;}//若parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1，将parent进行左右单旋else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);break;}else{assert(false);}}}else{_root = new Node(val);}return true;}int TreeHight(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHight = TreeHight(root->_left);int rightHight = TreeHight(root->_right);return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;}void Inorder(){_Inorder(_root);}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}private:void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_val << endl;_Inorder(root->_right);}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = TreeHight(root->_left);int rightHight = TreeHight(root->_right);//检查平衡因子对不对if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子出现异常" << endl;cout << rightHight - leftHight << endl;return false;}//需要递归检查是否平衡return (leftHight - rightHight <= 1 && leftHight - rightHight >= -1)&& _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);}};void test_AVLTree(){/*vector<int> v = { 6, 4, 32, 2, 7, 8 };AVLTree avl_tree(v);assert(avl_tree.IsBalance());*/AVLTree avl_tree;srand((unsigned int)time(NULL));for (int i = 1000; i >= 0; --i){avl_tree.insert(rand());//avl_tree.insert(i);assert(avl_tree.IsBalance());}//srand((unsigned int)time(0));//const size_t N = 10000;//for (size_t i = 0; i < N; ++i)//{//	size_t x = rand();//	avl_tree.insert(x);//	//cout << t.IsBalance() << endl;//}//avl_tree.Inorder();//cout << avl_tree.IsBalance() << endl;}}

红黑树

1. 红黑树的概念和性质（什么是红黑树，并且作为一颗红黑树的要求）

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以上是红黑树的概念和性质，在红黑树里不仅仅要考虑 cur 、curleft 、 parent 还要引入 grandfather，具体为什么看到后面就知道了

2. 红黑树类的属性

是使用枚举枚举出 红 黑 两种情况

58533f47adb74e74bda140814c9b16bd.png

3. 红黑树的插入函数

还是分情况讨论：

4. 总结

根据性质可以分为以下情况：

可以看出第一种情况（uncle存在且为黑）只需要变色即可，在看是否继续向上调整

第二种情况就要旋转了，而如何旋转本质图中也详细说了，取决于 grandfather、parent、cur 之间的关系，其实AVL树的旋转的决定因素也在此，只是转换成平衡因子进行描述

关于红黑，具体的思想关键体现在插入函数中，复习请自行分析出两种大情况，和情况二的细分，然后写出插入函数，才算过关

总体代码：

#pragma once#include <iostream>using namespace std;#include <string>#include <array>#include <deque>#include <list>#include <map>#include <queue>#include <set>#include <stack>#include <unordered_map>#include <unordered_set>#include <vector>#include <algorithm>#include <assert.h>#include <windows.h>#include <ctime>namespace zhuandrong
{enum Color{RED,BLACK};template<typename K, typename T>class RBTreeNode{typedef RBTreeNode Node;public:pair<K, T> _t;Node* _left;Node* _right;Node* _parent;Color color;public:RBTreeNode(pair<K, T> t): _t(t), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), color(RED){}};template<typename K, typename T>class RBTree{typedef RBTreeNode<K, T> Node;protected:Node* _root;protected:void RotateL(Node* parent){assert(parent);Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;// 改变节点之间的关系parent->_right = cur_left;cur->_left = parent;// 改变_parent的指向//原本 parent 的 _parentNode* ppNode = parent->_parent;//若原本 ppNode（原本 parent 的 _parent）为空，说明parent原本不是根，现需把 ppNode 给到 cur 的 _parent，并且把 ppNode 的子更新为 curif (ppNode){if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}//若原本 parent->_parent 为空，说明parent原本是根，现需把_root更新为根else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}if (cur_left){cur_left->_parent = parent;}parent->_parent = cur;}void RotateR(Node* parent){assert(parent);Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;// 改变节点之间的关系parent->_left = cur_right;cur->_right = parent;// 改变_parent的指向//原本 parent 的 _parentNode* ppNode = parent->_parent;//若原本 ppNode（原本 parent 的 _parent）为空，说明parent原本不是根，现需把 ppNode 给到 cur 的 _parent，并且把 ppNode 的子更新为 curif (ppNode){if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}//若原本 parent->_parent 为空，说明parent原本是根，现需把_root更新为根else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}if (cur_right){cur_right->_parent = parent;}parent->_parent = cur;}void RotateRL(Node* parent){RotateR(parent->_right);RotateL(parent);}void RotateLR(Node* parent){RotateL(parent->_left);RotateR(parent);}public:RBTree(): _root(nullptr){}RBTree(vector <pair<K, T>> v){for (auto& e : v){if (e.second == 5){int i = 0;}insert(e);}}bool insert(const pair<K, T> t){// 先判断根节点是否为空if (_root){// 若不为空，先找到合适的插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (t.second < cur->_t.second){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (t.second > cur->_t.second){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//cout << "该元素已经插入，请重试" << endl;return false;}}//找到该位置后进行插入并且链接关系cur = new Node(t);cur->_parent = parent;if (t.second < parent->_t.second){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}// 进行调整while (parent && parent->color == RED){Node* grandfather = parent->_parent;Node* uncle = nullptr;if (parent == grandfather->_left){uncle = grandfather->_right;}else{uncle = grandfather->_left;}// 第一种情况：如果uncle存在且为红if (uncle && uncle->color == RED){//将p和u变黑，g变红parent->color = uncle->color = BLACK;grandfather->color = RED;//更新，并且判断更新后的parent是否为根，不为根就继续调整；为根表明调整结束cur = grandfather;parent = cur->_parent;if (parent == _root){break;}}// 第二种情况：如果uncle存在且为黑色或者uncle不存在else{// 当 cur 为 parent 的左孩子时if (parent->_left == cur){if (grandfather->_left == parent){//       g//    p     u// c//Node* uncle = grandfather->_right;RotateR(grandfather);grandfather->color = cur->color = RED;parent->color = BLACK;}else{//      g             g                c//   u     p   --> u     c     -->  g     p//        c                 p      u//Node* uncle = grandfather->_left;RotateRL(grandfather);grandfather->color = parent->color = RED;cur->color = BLACK;}}// 当 cur 为 parent 的右孩子时else{if (grandfather->_right == parent){//    g     // u     p     //        c//Node* uncle = grandfather->_right;RotateL(grandfather);grandfather->color = cur->color = RED;parent->color = BLACK;}else{//      g              g                c//   p     u   -->  c     u     -->  p     g//    c            p                         u//Node* uncle = grandfather->_left;RotateLR(grandfather);grandfather->color = parent->color = RED;cur->color = BLACK;}}break;}}}// 若为空，则该元素作为根节点else{_root = new Node(t);}_root->color = BLACK;return true;}bool judge_color(Node* root, int blacksum, int blacknum){if (!root){if (blacknum != blacksum){return false;}return true;}if (root->color == BLACK){++blacknum;}if (root->color == RED && root->_parent && root->_parent->color == RED){return false;}return judge_color(root->_left, blacksum, blacknum)&& judge_color(root->_right, blacksum, blacknum);}bool isBalance(){if (!_root){cout << "根为空" << endl;return false;}if (_root->color == RED){cout << "根的颜色为红色，非法" << endl;return false;}Node* cur = _root;int blacksum = 0;while (cur){if (cur->color == BLACK){++blacksum;}cur = cur->_right;}return judge_color(_root, blacksum, 0);}};void test_RBTree(){/*vector<pair<int, int>> v;v.push_back(make_pair(1, 13));v.push_back(make_pair(2, 8));v.push_back(make_pair(3, 17));v.push_back(make_pair(4, 1));v.push_back(make_pair(5, 11));v.push_back(make_pair(6, 15));v.push_back(make_pair(7, 25));v.push_back(make_pair(8, 6));v.push_back(make_pair(9, 22));v.push_back(make_pair(10, 27));v.push_back(make_pair(11, 5));RBTree<int, int> rb_tree(v);cout << rb_tree.isBalance() << endl;*/RBTree<int, int> rb_tree;srand((unsigned int)time(NULL));for (int i = 0; i < 1000; ++i){rb_tree.insert(make_pair(i, rand()));}if (rb_tree.isBalance()){cout << "本次测试成功" << endl;}else{cout << "本次测试失败" << endl;}}}

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