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17. NTRU 加密方案
18. FFT/NTT：以 CRT 的视角
19. Multi-precision Montgomery
20. PKE 安全性的提升方式：Naor-Yung、Fischlin、Fujisaki-Okamoto

NTRU Using NTT

Background

[LS19] 给出了支持 NTT 的 NTRU 变体。他们给出了 AVX2 优化的算法实现，计算效率比 NIST-PQC 所接受的 NTRU 方案要高得多（Gen: 8X, Encap: 5X, Decap: 8X），并且也比其他的 KEM 方案明显更快。

[ACD+18] 使用 [APS15] 的 LWE estimator，评估了提交给 NIST-PQC 的所有 LWE-based、NTRU-based 的 PKE、KEM、Sign 的安全性。对于 128 比特的安全性，环的维度应当介于 700 到 800 之间。然而，radix-2 NTT 仅能处理维度是二的幂次的分圆环，这导致了安全级别的跳跃。NTRU-HRSS 采用了 701 维度的环，NTRU-Prime 采用了 761 维度的环，两者都无法兼容 NTT 算法。而基于 RLWE 的那些方案，可以采取 [BGV12] 的 Generalized LWE 假设将它划分为 3 个维度 256 的小环，从而可以使用 radix-2 NTT 算法。

NTRU-based 相较于 RLWE-based 的优势，

1. 公钥：
   • RLWE 的公钥形如 $(a,b=as+e)\in R_q^2$，包含两个环元素
   • NTRU 的公钥形如 $h=p\cdot g/f\in R_q$，规模更小
   • 假如 RLWE 采取 XOF + seed 的策略，需要付出额外的计算开销（一般而言，XOF/SHAKE 的速度比 NTT 慢得多）
2. 密文：
   • RLWE 的密文形如 $(c_0=a\cdot r+e_0,c_1=b\cdot r+e_1+ECC(m))\in R_q^2$，包含两个环元素
   • NTRU 的密文形如 $c=h\cdot r+m\in R_q$，规模更小
   • 假如 RLWE 采取 Compress 技术，实际上密文规模甚至会略小于 NTRU 的，当然这也需要付出不菲的计算开销。不过假如需要给出 “密文是正确形式” 的 ZKP（用途：MPC、可验证加密、群签名），那么 NTRU 密文的 proof 会小得多
3. 采样：
   • RLWE 公钥中的 $a\in R_q$ 需要在环 ${\mathbb{Z}}_q$ 上均匀采样，然而 radix-2 NTT 限制了 $q$ 不是二的幂次，因此需要拒绝采样保证均匀性
   • NTRU 公钥中的 $h\in R_q$ 的均匀性，来自于两个小多项式的商 $g/f$，因此对 $q$ 没有上述限制

NTRU-based 的缺点：在某些应用中（FHE、可验证加密、群签名）需要模数和噪声规模之间的 gap 足够大。但是 [ABD16] 指出，对于 “过度拉伸”（overstretched）的 NTRU 问题，子域攻击（subfield attack）相当的奏效。并且 NTRU 假设总是比 (R/M)LWE 假设更强（或者采取 [SS11] 的可证明安全变体），并且不同的安全级别下的 NTT 实现无法复用。

所以 NTRU 的参数应当仔细考虑，先要保证方案的安全性，考虑效率才有意义。

Factorization of Cyclotomic Ring

我们考虑 $m=2^k{3}^l,k,l\ge 1$ 的特殊分圆多项式环，维度 $n=\varphi (m)=2^k{3}^{l-1}=m/3$，此时的分圆多项式形如：
$${\Phi }_m(x)=x^n-x^{n/2}+1$$
我们考虑 $X^2-X+1$ 在代数闭包上的分解 $(X-{\alpha }_0)\cdot (X-{\alpha }_1)$，这要求 ${\alpha }_0+{\alpha }_1=1$ 以及 ${\alpha }_0{\alpha }_1=1$，我们设置 ${\alpha }_0={\zeta }_6$，${\alpha }_1=1-{\zeta }_6={\zeta }_6^5$，它们都是 $6$ 次本原单位根。

只要工作域 $\mathbb{F}$ 上存在 ${\zeta }_6$，那么就有如下的环同构：
$$\mathbb{F}[x]/({\Phi }_m(x))\cong \mathbb{F}[x]/(x^{n/2}-{\zeta }_6)\times \mathbb{F}[x]/(x^{n/2}-{\zeta }_6^5)$$
给定 $f(x)={\sum }_i{f}_i{x}^i\in \mathbb{F}[x]/({\Phi }_m(x))$，具体的映射为：
$$\begin{array}{rl}{f}_0(x)& =\sum _{i=0}^{m/p-1}\left(f_i+{\zeta }_6\cdot f_{i+n/2}\right)\cdot x^i\\ f_1(x)& =\sum _{i=0}^{m/p-1}\left(f_i+f_{i+n/2}-{\zeta }_6\cdot f_{i+n/2}\right)\cdot x^i\end{array}$$
这个蝴蝶的开销是：一次数乘、两次加法、一次减法，基本上和 CT 蝴蝶（一次数乘、一次加法、一次减法）的效率一样。接下来，分别对两个小的卷积环执行 FFT/NTT 即可。

[LS19] 选取的参数：

• 分园整数环 $\mathbb{F}[X]/(X^{768}-X^{384}+1)$，对应的次数 $m=2^8\times 3^2=2304$，维度 $n=m/3=768$
• 素域 $\mathbb{F}={\mathbb{Z}}_{7681}$，对应的素数 $q=1+2^9\times 3\times 5$，它含有 ${\zeta }_6$ 和 ζ 768 ∈ { ζ 6 1 / 128 } \zeta_{768} \in \{\zeta_6^{1/128}\} ζ768​∈{ζ61/128​}
• 特别地 $7681=2^{13}-2^9+1$，导致存在高效的专用模约简算法（相比通用的 Barrett 算法还要更快一点）

因此，有以下的环同构：
$$\begin{array}{rl}{\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^{768}-X^{384}+1)& \cong {\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^{384}-{\zeta }_6)\times Z_{7681}[X]/(X^{384}-{\zeta }_6^5)\\ {\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^{384}-{\zeta }_6)& \cong \prod _{j=0}^{128}{\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^3-{\zeta }_{768}^{1+j\cdot 128})\\ {\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^{384}-{\zeta }_6^5)& \cong \prod _{j=0}^{128}{\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^3-{\zeta }_{768}^{5+j\cdot 128})\end{array}$$
第一个同构花费 $1$ 层蝴蝶，其开销接近于 CT 蝴蝶。另外两个同构花费 $7$ 层蝴蝶，每一层的都是 CT 蝴蝶。共计 $8$ 层迭代，由于 ${\mathbb{Z}}_{7681}$ 中不存在 ${\zeta }_{2304}$，所以最终的 $\mathrm{deg}=3$ 的那些 Base Rings 无法继续分解。

InvNTT 可以直接复用 NTT，不过要注意 “比特串翻转” 导致的系数置换。或者采取 GS 蝴蝶，那就不必考虑这些置换，效率可能会更高一些。

OW-CPA NTRU

定义 modular binomial distribution 简记为 ${\beta }_k$，它的生成过程是：

1. 均匀采样 a 1 , ⋯ , a k , b 1 , ⋯ , b k ← { 0 , 1 } a_1,\cdots,a_k,\,\, b_1,\cdots,b_k \gets \{0,1\} a1​,⋯,ak​,b1​,⋯,bk​←{0,1}
2. 输出 ${\sum }_i{a}_i-{\sum }_j{b}_j(\mathrm{mod}{}^{\pm }3)$

[LS19] 采取了 ${\beta }_2$ 分布，本当 $[1,4,6,4,1]$，模掉 $3$ 之后，
$$\mathrm{Pr}[-1]=\mathrm{Pr}[1]=\frac{5}{16},\mathrm{Pr}[0]=\frac{6}{16}$$
如果存在 “随机性恢复”（randomness-recovering）算法 $r\leftarrow Rec(m,c,pk)$，使得 $c=Enc(pk,m;r)$，我们称这个 PKE 方案是消息可验证的（message-verifiable）

简单采用 [HPS98] [HS00] 所描述的 NTRU 方案，只不过代数结构从：卷积环 $\mathbb{Z}[X]/(X^N-1)$，其中的 $N$ 是素数（无法使用 FFT/NTT），替换为了：分圆环 $\mathbb{Z}[X]/({\Phi }_{2304}(X))$，从而支持 FFT/NTT 算法。

我们额外要求 NTRU 方案的随机性恢复性质：这将使得 IND-CCA2 的归约更加紧致（仅用于此）。由于 $c=hr+m$，因此有
$$Rec(m,c,h):=(c-m)\cdot h^{-1}\in R_q$$
这要求公钥 $h=3g/f$ 也是可逆的。可逆性检查，就是要求 NTT 域的全部系数都是可逆的（非零）。因为 $h$ 是均匀的，所以 $256$ 个 ${\mathbb{Z}}_q^3$ 上系数当中存在零的概率仅为 $\mathrm{Pr}\le 1-256/q^3\approx 1-2^{-30}$，我们完全可以在 PKE 中忽略这个检查，并不对 PKE 方案有实质影响。

Decryption Error and Message Space

OW-CPA PKE 的消息空间、随机带空间：
M = R = { f ∈ { − 1 , 0 , 1 } 768 } ⊆ Z [ X ] / ( Φ 2304 ( X ) ) M=R=\{f \in \{-1,0,1\}^{768}\} \subseteq \mathbb Z[X]/(\Phi_{2304}(X)) M=R={f∈{−1,0,1}768}⊆Z[X]/(Φ2304​(X))
它们的分布记为 $D_M,D_R$，解密失败率：
$$\underset{(sk,pk)\leftarrow Gen,m\leftarrow D_M,r\leftarrow D_R}{\mathrm{Pr}}[Dec(sk,Enc(pk,m;r))\ne m]=ϵ$$
由于仅当 $fc=3(gr+f^{\prime }m)+m$ 的绝对值越过了 $q/2$，此时 ${\mathbb{Z}}_q$ 无法正确模拟 $\mathbb{Z}$，出现解密错误。NIST-POC 接受的 NTRU-HRSS 和 NTRU-Prime，在它们的参数设置下，没有解密错误。[LS19] 分析了 $g,r,f^{\prime },m$ 全都服从 ${\beta }_2$ 时的解密失败率：在上述 NTTRU 的参数下，错误率为 $ϵ\approx 2^{-1230}$

但是明文空间的规模 $|M|=3^{768}$ 过于巨大。对于随机选取的 $(sk,pk)$，存在某消息出现解密失败的概率 $\mathrm{Pr}\le ϵ\cdot |M|\approx 2^{-13}$ 相当的大，这可能会导致有效的解密失败攻击（decryption-error attacks）

[LS19] 提出一种转换方法，把消息空间约简到 M ′ = { 0 , 1 } 256 M'=\{0,1\}^{256} M′={0,1}256，使得 $ϵ\cdot |M|\ll 2^{-128}$，从而足够抵御上述攻击，达到 128 比特安全性。

代价是额外的 XOF 和 Hash 的计算，以及密文规模扩大了 $256$ 比特（对称密文 $u=E(m^{\prime })$ 部分）。可以证明，如果存在敌手访问 $\mu$ 次 $H_{D_M}$ 之后以优势 $\delta$ 打破 $CP{A}^{\prime }$ 的安全性，那么就存在另一个敌手以优势 $\delta -(\mu +1)/|M^{\prime }|$ 打破 $CPA$ 的安全性，
$$\text{ OW-CPA big }\le \text{ OW-CPA small }$$

IND-CCA2 KEM

采用 [FO13] [Den02] 的标准提升技术，可以将上述的 OW-CPA PKE 方案，转化为 IND-CCA2 KEM 方案。

归约流程是，

1. 将 OW-CPA “usual” scheme 归约到 OW-CPA “message-verifiable” scheme。如果存在敌手以优势 $\delta$ 打破后者，那么就存在另一个敌手以优势 $\delta$ 打破前者。这里用到了算法 $Rec(\cdot )$ 检验消息，使得归约没有损失。
2. 将 OW-CPA “message-verifiable” scheme 归约到 IND-CCA2 KEM。如果存在敌手以优势 $\delta$ 打破后者，那么就存在另一个敌手以优势 $f(\delta )-ϵ\cdot |M|$ 打破前者，其中的 $f$ 是线性依赖于 RO 查询次数的损失函数。

归约链：
$$\text{ OW-CPA usual }\le \text{ OW-CPA message-verifiable }\le \text{ IND-CCA2 KEM}$$

AVX2 optimized Implementation

NTT with Montgomery

Hensel remainder：给定模数 $q\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 和字大小 $\beta \in {\mathbb{Z}}^{+}$，满足 $\gcd (q,\beta )=1$ 以及 $q<\beta /2$。任意的整数 $a\in \mathbb{Z}$，可以表示为 $a=mq+r\beta$，如果限制 $m\in [-\beta /2,\beta /2)$，那么 $r$ 是唯一的。

Montgomery reduction algorithm，记为 $Mont(a,b)=ab{\beta }^{-1}(\mathrm{mod}q)$，

1. 输入 $a,b\in [-\beta /2,\beta /2)$
2. 计算 $t:=a\cdot b\in \mathbb{Z}$，它需要 $O({\beta }^2)$ 的存储
3. 计算 $u:=(t+(t\cdot q^{\prime }(\mathrm{mod}\beta ))\cdot q)/\beta$，其中 $q^{\prime }:=-q^{-1}(\mathrm{mod}\beta )$ 是常数
4. 输出 $u\in [0,2q)$，它满足 $u\equiv (a\cdot b)\cdot {\beta }^{-1}(\mathrm{mod}q)$

我们选取 $\beta =2^{16}$（计算机的半精度），它大于 $q=7681$ 的两倍，并且和它互素。同时，step 3 中的关于 $\beta$ 的取模、除法，被简化为了 AND、Shift。

AVX2 提供了半精度乘法运算符，给定两个 $16$ 比特整数 $a,b$（半精度数），乘积是单精度数（一个字 $32$ 比特）

• $mulhi(a,b)=ab\gg 16$，带符号乘法的高半字
• $mullo(a,b)=ab(\mathrm{mod}{2}^{16})$，（无符号/带符号）乘法的低半字

因此，$Mont(a,b)$ 可以优化为：

1. 计算 $t_1:=mulhi(a,b)$，原始 $t$ 的上半字
2. 计算 $t_2:=mullo(a,b)$，原始 $t$ 的下半字
3. 计算 $t_2^{\prime }:=mullo(t_2,q^{\prime })$，此处得到了 $t\cdot q^{\prime }(\mathrm{mod}\beta )$
4. 计算 $u:=t_1+mulhi(t_2^{\prime },q)$，两者的上半字加和

这导致了更加稠密的 AVX2 向量化（相较于单精度存储），并且节约了一些运算。

现在我们将这个模乘算法，整合到 NTT 算法中，

1. 由于 NTT 蝴蝶中的全部乘法，都是本原根（常数 $\zeta$）和系数（变量 $f$）的乘法，因此可以预计算如下的常数：
   $${\zeta }^{\prime }=\zeta \cdot \beta (\mathrm{mod}q)$$
   那么 $Mont(f,{\zeta }^{\prime })=f\cdot \zeta (\mathrm{mod}q)$，这正是我们预期的模乘结果。

2. [Sei18] 给出的另一个重要的优化是，继续再预计算如下的常数：
   $${\zeta }^{\prime \prime }={\zeta }^{\prime }\cdot q^{\prime }(\mathrm{mod}\beta )$$
   常数特化的 $Mon{t}_{const}(f,{\zeta }^{\prime })$ 算法步骤为，

   1. 计算 $t_1:=mulhi(f,{\zeta }^{\prime })$，半精度数
   2. 计算 $t_2:=mullo(f,{\zeta }^{\prime \prime })$，半精度数
   3. 计算 $u:=t_1+mulhi(t_2,q)$，半精度数

3. 利用预计算的 ${\zeta }^{\prime },{\zeta }^{\prime \prime }$，以及 $Mon{t}_{const}(f,{\zeta }^{\prime })$，可以计算出正确的 NTT/InvNTT 结果。

对于蝴蝶中的模加运算，可以采取一般性的 Barrett 算法（需要一些乘法）。不过鉴于 $q=7681$ 的稀疏比特串表示，[Seil18] 给出了专用的模约减算法（不需要乘法），

NTT Vectorization

对于某一层的蝴蝶（包含若干个多项式，各自分解为长度一半的小多项式），[LS19] 采取了如下的系数打包：

1. 如果这些多项式长度是 $32$ 的倍数（上/下阙的长度是 $16$ 的倍数），那么将多项式的每连续 $16$ 个半精度系数，拉取到单个 AVX256 寄存器中
2. 如果这些多项式长度小于等于 $16$，就需要利用 shuffle 指令，将多个多项式的上/下阙交错在单个 AVX256 寄存器中

由于 $mullo,mulhi$ 的计算延迟是 $5$-cycles，$add,sub$ 的计算延迟是 $1$-cycle，从而优化版本的 Montgomery 的延迟是 $11$-cycles。为了提高利用率（乱序执行的效果不一定好），[LS19] 手动安排了 $6$ 个 AVX256 寄存器（加载了 $96$ 个半精度系数），它们的蝴蝶运算中的乘法是相互独立的，可以填满 CPU 流水线。

为了减少 Load 和 Store 操作（现代处理器的存储墙），[LS19] 采取了层融合技术：长度 $768$ 的多项式迭代 $3$ 层分解为 $8$ 个长度 $96$ 的多项式。对于每个长度 $96$ 的多项式（打包在 $6$ 个 AVX256 寄存器内），持续执行 $5$ 层 radix-2 NTT（而非只分解一层，store 结果，再 load 下一个多项式），得到 $32$ 个长度 $3$ 的最终的分解结果。然后再移动到下一个多项式。

Base Rings

现在我们考虑 Base Ring 上的运算，卷积环 ${\mathbb{Z}}_q[X]/(X^3-\zeta )$

两个元素 $f={\sum }_i{f}_i,g={\sum }_j{g}_j$ 的乘积 $h=fg$，写成矩阵形式：
$$\begin{array}{rl}h=f\cdot g& =f\cdot g_0+fx\cdot g_1+f{x}^2\cdot g_2\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{f}_0& \zeta f_2& \zeta f_1\\ f_1& f_0& \zeta f_2\\ f_2& f_1& f_0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ g_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_0\\ h_1\\ h_2\end{array}\right]\end{array}$$
使用 Montgomery 算法来计算模乘，

1. 本原根 $\zeta$ 是常数，被预计算为 ${\zeta }^{\prime }=\zeta \cdot \beta (\mathrm{mod}q)$，那么 $Mon{t}_{const}(f,{\zeta }^{\prime })=f\cdot \zeta$ 的结果是预期的
2. 每一个系数 $f_i$ 都要和各个 $g_j$ 模乘，因此可以先计算每一个 $f_i^{\prime }=f_i\cdot q^{\prime }(\mathrm{mod}\beta )$，在 $Mont(f_i,g_j)$ 中复用
3. 模乘 $Mont(f_i,g_j)$ 的结果是 $f_i{g}_j\cdot {\beta }^{-1}(\mathrm{mod}q)$，而非预期的 $f_i{g}_j$，因此需要追踪记录这个因子 ${\beta }^{-1}(\mathrm{mod}q)$ 的变化。在 InvNTT 结束时，和本来的因子 $1/256(\mathrm{mod}q)$ 合并，通过 $Mont$ 消除它们。

而对于除法 $h=g/f$，需要对 Rotation Matrix 求逆：先计算伴随矩阵，然后除以行列式。易知这个逆阵（如果存在的话）也是 Rotation Matrix，

1. 计算伴随矩阵：简单地计算第一列的余子式
   $$\begin{array}{rl}{f}_0^{\prime }& =f_0^2-\zeta f_1{f}_2\\ f_1^{\prime }& =\zeta f_2^2-f_0{f}_1\\ f_2^{\prime }& =f_1^2-f_0{f}_2\end{array}$$
   伴随矩阵 $f^{\ast }=f_0^{\prime }+f_1^{\prime }X+f_2^{\prime }{X}^2$

2. 计算行列式的逆：简单地计算行列式，可以简化为
   $$d=f_0{f}_0^{\prime }+\zeta (f_1{f}_2^{\prime }+f_2{f}_1^{\prime })$$
   然后计算 $d^{-1}=d^{q-2}$，利用快速幂算法

3. 最后得到 $f^{-1}=d^{-1}{f}^{\ast }$，其中的所有模乘运算都采取 $Mont(f,g)$ 和 $Mon{t}_{const}(f,{\zeta }^{\prime })$ 来计算

由于 $Mont(f,g)$ 会引入一些因子 $({\beta }^{-1}{)}^v$，我们需要追踪它们，结果是：

• 公钥 $h=3g/f$ 的因子为 $\beta$
• 密文 $hr$ 的因子恰好为 $1$，于是可以直接和 $m$ 相加
• 解密 $fc$ 的因子为 ${\beta }^{-1}$，在 InvNTT 的结尾我们计算 $Mont(m,\beta \cdot (\beta \cdot 256^{-1})(\mathrm{mod}q))$ 消掉它们

也使用 AVX2 实现这些 Base Ring 上的运算。那么环 ${\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^{768}-X^{384}+1)$ 上的多项式运算：NTT，InvNTT，小环 ${\mathbb{Z}}_{7681}[X]/(X^3-\zeta )$ 上的乘法、除法，它们的计算速度都是极快的。这导致效率瓶颈，反而是 Sample、Hash、XOF、Pack/Unpack 这些运算。

Binomial Sampling

为了快速采样 ${\beta }_2=(a_1+a_2)-(b_1+b_2)(\mathrm{mod}{}^{\pm }3)$，[LS19] 采取查表的方法。构造如下的 LUT，它是长度为 $16$ 的向量：

$(a_1{a}_2{b}_1{b}_2{)}_2$	${\beta }_2$
$0=0000$	$0$
$1=0001$	$-1$
$2=0010$	$-1$
$3=0011$	$1$
…	…
$14=1110$	$1$
$15=1111$	$0$

由于 ${\beta }_2$ 取值 { − 1 , 0 , 1 } \{-1,0,1\} {−1,0,1} 只花费 $2$ 比特，因此上述的 LUT 可以被存储为一个字 $T$，采样算法就是：产生均匀的四比特 $i=(a_1{a}_2{b}_1{b}_2{)}_2$，然后简单的 shift，
$${\beta }_2[a_1,a_2,b_2,b_2]=\left(T\gg (2i)\right)[0]$$
考虑到表格的对称性 ${\beta }_2[i]=-{\beta }_2[15-i]$，实际上 LUT 可以被存储为半个字（$16$ 比特），从而一个 AVX256 寄存器中可以填入 $16$ 张表，以 $16$ 路并行的方式快速采样。不过 AVX2 不支持半精度整数的移位，所以还需要把 LUT 重排一下。

Symmetric Primitives

为了生成 $f,g,r$，我们使用 XOF 对某个 seed 做扩展，然后调用上述的 Binomial Sampler 执行各个系数的采样。但是 SHAKE 的速度很慢（相对于 NTT 而言），所以 [LS19] 选用了 CTR-mode AES 作为 XOF

在 KEM 的封装算法中，需要计算两个哈希 $r\leftarrow H_{D_R}(m)$ 和 $k\leftarrow H_K(m)$，[LS19] 使用 SHA512 合并地计算出 $512$ 比特的摘要，然后各自设置 r , k ∈ { 0 , 1 } 256 r,k \in \{0,1\}^{256} r,k∈{0,1}256 是它的各一半。

Vectorized Packing

由于 $q=7681\approx 2^{13}$，因此我们将多项式的每 $8$ 个系数（本来占据 $16$ 字节），打包到连续的 $13$ 字节，减少通信开销。这个打包过程也是极慢的，如果不进行 AVX2 优化，它甚至比 SHA3 的速度还要慢。

鉴于 AVX256 寄存器是连续读取，[LS19] 间隔 $16$ 提取 $8$ 个系数（而非连续的 $8$ 个系数），将它们打包在一起。于是可以将 $16\times 8$ 个系数，连续读取到 $8$ 个 AVX256 寄存器中（每个寄存器加载连续的 $16$ 个系数），然后并行地打包，得到 $16$ 个长度 $13$ 字节的打包结果。