线性代数（五） | 矩阵对角化特征值特征向量-编程知识

线性代数（五） | 矩阵对角化特征值特征向量

文章目录

1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么？
2 求特征值和特征向量
3 特征值和特征向量的应用
4 矩阵的对角化

1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么？

矩阵实际上是一种变换,是一种旋转伸缩变换（方阵）不是方阵的话还有可能是一种升维和降维的变换
直观理解可以看系列超赞视频线性代数-哔哩哔哩_Bilibili

比如A= $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ x= $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$

我们给x左乘A实际上是对x进行了一次旋转伸缩变换 Ax= $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$

而我们如果仅仅是单纯的伸缩变换，而如果A对x仅仅只能伸缩变换，而不能旋转变换，则称为x为矩阵A的特征向量，伸缩变换的倍数即为特征值

2 求特征值和特征向量

（1）写出特征多项式 $∣ E - A ∣ = 0$ 求得特征值

（2）代入特征值求解方程组，解即为我们的特征向量

矩阵的迹

矩阵乘积为行列式

在这里插入图片描述

3 特征值和特征向量的应用

已知A的特征值

则 $A^{-1}$ 的特征值可求

A的一个多项式特征值可求

所以把我们要求的值转换为A的多项式，进而求出特征值，求出行列式的值

在这里插入图片描述

4 矩阵的对角化

非对称矩阵对角化

（1）求解特征值和特征向量

（2）特征向量组成我们的相乘矩阵P 特征值作为主对角线上的元素的对角矩阵就是我们对角化的矩阵

在这里插入图片描述

对称矩阵对角化求正交矩阵

（1）求解特征值值和特征向量

（2）施密特正交化重根对应的特征向量，再单位化所有特征向量

（3）取向量依次组成我们的正交矩阵Q

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.hqwc.cn/news/171787.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系编程知识网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！