关于高斯核是实现尺度空间变换的唯一性思考

受到自己的启发,唯一性证明有了思路:

谁的一阶导数是自己,exp(x),只有是自己,才能保持自己在其中。

为什么不能是exp(x)呢?不变导致图像不会模糊(变化),又要变化,又要保留自己,我们看看高斯函数的一阶导数:

g(x)=常量*exp(-x*x/2),求导后

\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=-常量*exp(-x*x/2)*x,这表达了什么意思?

突然想起,傅里叶变换,频域空间能看到函数的特征,我们可以想一想exp(x)的频域特征。

也就是说,高斯函数一阶求导后,常量*exp(-x*x/2)不仅保持了原特征,而且-x与其相乘有特征的线性变化,这种线性变化是模糊吗?不好说,但是高斯函数,就一定是。

那么能否是f(x)=常量*exp(-x*x*x/2)这样一个函数呢,不行,为什么?因为一阶导数除了自己还有x平方,这就不能称其为线性!

而二阶导数是自己的,我们不用,像sinx,cosx,也不行,如果你关注二阶导数,其他条件又不成立了,所以,世间非你莫属!

到了此处,再和sigma*(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2})=\frac{\partial g}{\partial sigma }作对比,

再看看那个简单的线性方程(直线方程):y=kx+b

实质是一回事!

这就是,高斯核是实现尺度空间变换的唯一性的证明。

证毕!突然很轻松!纠结已释!

原话是这样说的:

在构建图像尺度空间的过程中,唯一使用的核函数是高斯核,这一点被T Lindeber在文献《Scale-space theory: a basic tool for analyzing structures at different scales》中证明,高斯核是唯一可以产生多尺度空间的核

整个证明,还需参考前面两篇:

为什么高斯核是实现尺度空间变换的唯一变换核,并且是唯一的线性核?再研究

尺度为什么是sigma

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