一个程序员一生中可能会邂逅各种各样的算法，但总有那么几种，是作为一个程序员一定会遇见且大概率需要掌握的算法。今天就来聊聊这些十分重要的“必抓！”算法吧~

常见算法介绍

本文所介绍的排序算法均以升序为例。

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一 .直接插入排序

直接插入排序是从一段数据中将一个数据在合适的位置插入。

案例：
一张图弄懂直接插入排序

实现代码：

void InsertSort(int * a,int n )
{for(int i =0;i<n-1;i++){int end = i;//保存待插入元素int tmp = a[end+1];while(end>=0){if(a[end]>tmp){//把end往后挪a[end+1] = a[end];//end再往前走	end--;}else{break;}}//由于不管是在中间的任意地方插入还是在end的末尾插入（即tmp是最大的情况），//都是在end后面的位置插入，所以来到这里进行合并a[end+1] = tmp;}
}

直接插入排序时间复杂度

直接插入排序的时间复杂度为：O(N^2)，因为最坏的情况是逆序的情况：

每一次插入需要挪动的次数为：1+2+3+4+…+n-2+n-1 = n*n/2

所以最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)

二.希尔排序

希尔排序可以被认为是优化后的直接插入排序。

具体优化过程如下：

给定一个gap，这个gap是把待插入的数据分成gap组，每组之间的间隔为gap长度
给定一个gap，这个gap是把待插入的数据分成gap组，每组之间的间隔为gap长度
给定一个gap，这个gap是把待插入的数据分成gap组，每组之间的间隔为gap长度

重要的事情说三遍。

比如：

令gap = 3，即待插入的数据的间隔为3，不同于直接插入排序，直接插入排序是第一个和第二个数据的间隔永远为1，而对于希尔排序，当gap = 3时，第一个数据和第二个数据的间隔为3。
当我们把该组的元素两两比较时，大的元素就会更快地往后走。

第二轮是将待插入元素8和9比较，因为9后面的第一个元素不再是7，而是9+gap的位置处的数据，即8
再将9和8进行比较，将8插入到9位置处。

当然，这是每组组内的比较，

放眼整个希尔排序来说，是多组同时进行的。

可以发现，
当gap越大，大的元素越快挪到后面
当gap越小，小的元素越慢挪到后面
当gap == 1时，就相当于上面提到的直接插入排序。

回到上面的案例，gap = 3，所以需要将数据分成3组，每组的间隔为3个长度。

如上图：此时每个元素都可以被覆盖到。

相当于同时把gap组中大的元素更快挪到后面

我们把上面的过程成为：预排序

也就是说，完成上面的操作之后，整个数据并不是有序的，而是 接近有序

比如上面的案例，完成预排序后，整组数据为：

此时是接近有序，所以此时令gap = 1，即最后接近有序的时候进行直接插入排序即可。

注意：gap的取值是不确定的：
gap取值越大，大的数据越快挪到后面，但越不接近有序
gap取值越小，大的数据越慢挪到后面，但越接近有序

总之gap是一定不能固定，并且gap的取值最后必须为1。

gap的取值应该是从大逐渐到小过渡的。

gap的取值一般是：

初始化gap = n，

进入轮回时：

gap = gap/3+1 或者 gap = gap/2，每次轮完一轮后，gap都会减小。

当gap的取值是gap = gap/2时，时间复杂度为：O(N*logN)，logN是以2为底N的对数

最坏情况同样为逆序：

最后一轮gap = 1，此时为直接插入排序，则N/2/2/2/…/2 = 1，
每次轮回一次gap，gap都会/2，最后一次gap = 1，则需要比较的次数是logN(以2为底N的对数)

实现代码：

void ShellSort(int* a, int n)
{//当gap越大，大的值越快到达最后的位置,但越不接近有序//当gap越小，大的值越慢到达最后的位置，但越接近有序//当gap值越接近1，排序越接近顺序//刚gap == 1时，就是直接插入排序int gap = n;while (gap > 1){//两种方式均可，gap可以任取任何值，但是都必须保证gap最后一定为1//gap = gap / 2;gap = gap / 3 + 1;//在这里就是把间隔多组的数据同时排列for (int i = 0; i < n - gap; i++){int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){//小于的情况，需要挪动数据if (a[end] > tmp){a[end + gap] = a[end];end -= gap;}//大于或者等于的情况，直接插入end后面else{break;}}//由于最终都需要插入end后面，所以在循环之外插入a[end + gap] = tmp;}}
}

总结：希尔排序是在直接插入排序的基础上引入一个gap，这个gap把数据分成了gap组，并且每组元素之间的间隔也为gap。
gap每次都会逐渐减小，并且最后gap一定为1，当gap为1时，代表完成了预排序，
最后一步进行直接插入排序。

希尔排序时间复杂度

总的时间复杂度为遍历整组元素的次数：O(N)*每次遍历进行插入的次数O(logN)
—> O(N * logN)

同理：当gap的变化是gap = gap/3-1时， 最坏情况下（逆序）每次轮回需要插入的次数是

(((N/3+1) /3+1)/3+1)… = 1
对于时间复杂度：可忽略掉+1项，所以每次轮回插入次数log3 (N) ,以3为底N的对数

总时间复杂度为O(N*log3 (N))

经过前人计算，希尔排序平均时间复杂度为：
O(N^1.3)

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前文知识清单：

三、选择排序

直接选择排序通过每一轮的比较，找到最大值和最小值，将最大值的节点跟右边交换，最小值节点跟左边交换，达到排升序的效果。

假如最左边的数据的下标为left，最右边的数据的下标为right。

选择排序就是每一轮选出max和min两个数据，将max和right下标的数据交换，将min和left下标的数据交换。交换后，right–，left++，这样第二轮就会找第二小和第二大的数据，依次往后。

实现代码：

void SelectSort(ShellDataType* a, int n)
{//左下标 和右下标int left = 0;int right = n - 1;//不需要left <= right，最后一个元素不需要再交换,当然给<=也没问题while (left < right){//假设最小最大全部在leftint mini = left, maxi = left;//单趟查找最小值和最大值下标for (int i = left; i < right; i++){//找到最小的，更新下标if (a[i] < a[mini]){mini = i;}//找到最大的，更新下标if (a[i] > a[maxi]){maxi = i;}}//maxi和right交换，mini和left交换Swap(&a[left], &a[mini]);//这里存在特殊情况，如果maxi在left位置，left和mini交换了之后，最大值的下标就是mini了//所以这里需要判断一下，如果真的是这种情况，就更新最大值下标。if (maxi == left){maxi = mini;}Swap(&a[right], &a[maxi]);//后面的不需要再更新了，因为后面就算mini是在right位置，这轮也已经结束了，所以不需要再管它//更新left和right 的下标left++;right--;}}

直接选择排序时间复杂度

每一轮比较都需要遍历数组，查找最大最小值，第一轮遍历N个数据，第二轮是N-2个数据，第三轮N-4 …，遍历次数为：N+N-2+N-4+…+1，一个等差数列求和

所以总的时间复杂度为O(N^2)

四、堆排序

向上调整算法和向下调整算法请参照：数据结构——堆

所谓堆排序，就是排序堆，要求是堆才能够进行排序，所以给任意一个连续数组对数组排序的话，需要先建堆。

使用向上调整法建堆如下图：

结果如下：

时间复杂度为O(N*logN)

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使用向下调整建堆如下图：

时间复杂度O(N)

堆排序：

堆排序使用交换之后再向下调整原理：
在建了大根堆之后，堆顶的左右子树都是大根堆，不管最后一个元素是否是最小的，与堆顶元素交换后,
堆顶元素就被放到了堆尾，然后再让堆顶元素向下调整，因为此时堆顶元素是一个较小的元素，会向下调整，调整之后是第二大的元素在堆顶下一次再排序时，排的是堆尾的前一个了，那个最大的元素不用再排了，排的就是第二大的元素，
再让堆的最后一个元素与堆顶元素交换，再进行向下调整，调整完后第三大的元素就上来了。

建好堆后，对堆进行排序，堆排序过程图如下：

实现代码：

void HeapSort(int* a, int n)
{assert(a);//1.先建堆，向上调整建堆,建堆的时间复杂度为O(N*logN)//也可以采用向下调整的方法建堆，向下调整的方法建堆的时间复杂度为O(N)//强烈建议采用向下调整的建堆方式//for (int i = 0; i < n; ++i)//{//	AdjustUp(a, i);//}//向下调整建堆，是从第一个非叶子节点开始调整，因为所有的叶子节点都不需要进行向下调整//child = (parent-1)/2//此时parent就是n-1for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >=0; -- i){AdjustDown(a, n, i);}//现在是大根堆//2.堆排序，采用向下调整算法进行排序,让最后一个节点和堆顶节点进行交换，然后堆顶节点向下调整//调整完后继续倒数第二个节点和堆顶节点交换,以此类推for (int i = n-1; i >0; --i){swap(&a[0], &a[i]);//这里传参不能传n，传n-1,因为交换之后最后一个数字就不需要参与进来了，相当于size--//堆排序使用交换之后再向下调整原理：//在建了大根堆之后，堆顶的左右子树都是大根堆，不管最后一个元素是否是最小的，与堆顶元素交换后//堆顶元素就被放到了堆尾，然后再让堆顶元素向下调整，因为此时堆顶元素是一个较小的元素，会向下调整，调整之后是第二大的元素在堆顶// //下一次再排序时，排的是堆尾的前一个了，那个最大的元素不用再排了，排的就是第二大的元素，//再让堆的最后一个元素与堆顶元素交换，再进行向下调整，调整完后第三大的元素就上来了。AdjustDown(a, i, 0);}//总结：排升序的话，建大根堆//排降序建小根堆for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}
}

堆排序时间复杂度

建堆的时间复杂度为O(N)
调整过程遍历N个数的时间复杂度为O(N)
每次调整一个数的时间复杂度为O(logN)
总的时间复杂度为O(N+N*logN)
综上：

堆排序的时间复杂度为：O(N*logN)

五、冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort）：一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来，重复道数列已经不用再交换。冒泡排序名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢"浮"到数列的顶端。相当于升序操作。

每一趟冒泡排序，就排序一个数，可以形象地认为把一个大的数字放到水底，把小的数放在水面，慢慢冒出泡泡来。

冒泡排序实现代码：

void bubble_sort(int* arr, int sz)
{int i = 0;for (i = 0; i < sz - 1; i++){      //sz-1是冒泡排序的趟数int j = 0;for (j = 0; j < sz - 1 - i; j++){    //sz-1-i是每一趟冒泡排序要比较的元素个数if (arr[j] > arr[j + 1])//升序排序{int tmp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = tmp;}}}
}

我们发现：当冒泡排序中只有某少数个数据是无序的时候，当进行完了一趟排序，整个数据就有序了，这时候就不需要再比较了。

当进行了一轮排序后，此时数据已经有序，就可以退出不再比较了。

所以冒泡排序还可以进行优化：

void buuble_sort(int arr[], int sz)
{int i = 0;for (i = 0; i < sz; i++){int j = 0;int flag = 1;//假设这一趟冒泡排序已经有序for (j = 0; j < sz - 1 - i; j++){if (arr[j] > arr[j + 1]){int tmp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = tmp;flag = 0;//如果没完全有序，则flag=0，我们才能知道是否完全有序}}if (flag == 1){break;}}
}

冒泡复杂度

1. 时间复杂度：O(N^2)

2. 空间复杂度：O(1)

3. 稳定性：稳定

六、快速排序

（以下为递归法）

快速排序是一种类似二叉树结构的排序。
思路： 在待排序数据中任取一个值作为基准值（key），按照一定的方式，将比key值小的数据放到左边，比key值大的放到右边，达到key值就是一个分割点，其左边比它小，右边比它大。然后以key为分割点分别对其左子区间和右子区间进行同样的操作。

1.Hoare法（不推荐）

Hoare法是快排的创始人Hoare提出的方法，这个方法有点难以理解，且有许多细节需要注意，不是很推荐该方法。

思路是：
给定两个下标，分别为left和right，记录最左边的下标和最右边的下标。选取一个值作为key（一般选最左边或者最右边的值作为key），其下标为keyi，如果是选左边做key，就让right先走，如果是选右边做key，就让左边先走。

假设选左边做key，right先走，找比key小的值，如果找到了，然后轮到左边left走，左边left找大，如果找到了，就交换left和right下标所对应的值。然后再重复该过程。

第一步：

第二步：

第三步：递归，先递归keyi的左边，再递归keyi的右边。
重复上述操作。

但是Hoare存在几个缺陷：
缺陷1.当数据为有序或者逆序的时候，我们每次选key都是选最左边或者最右边，这就导致了每排序完一次，keyi的位置仍然是最左边或者最右边，此时递归的次数就要递归n次，可能会导致栈溢出。

选基准值key的方法（快排的方法均可用）

所以我们需要每次去key的时候尽量取到中间的数，保证递归下去左右两个子区间是比较均匀的。

1、随机法

此时出现了两种取key的方法：
1.随机取key法：就是随机取一个key。

	// 随机选keyint randi = left + (rand() % (right - left));//随机选到key后，把key放到左边的位置Swap(&a[left], &a[randi]);

2. 三数取中（推荐）

2.（推荐）三数取中法，三数取中法就是以left，right，mid为下标的三个数取一个中间大的数作为key。

比如说：
mid = (left+right)>>1 ;
a[left] = 6,a[right] = 8,a[mid] = 3；所以应该取的数是6。这样就保证了每次取到的数是比较中间的数，就不会出现当数据为顺序时递归深度太深出现栈溢出的情况。

//三数取中法取key
//从左，右，中三个数选出一个不大不小的数作为key
int GetMidNumi(int *a, int left, int right)
{int mid = (left + right) / 2;//也可以这样写 , 右移一位除2，左移一位乘2，左移两位乘2^2,以此类推//int mid = (left + right) >> 1;if (a[left] < a[right]){if (a[left] > a[mid]){return left;}else if(a[right] < a[mid]){return right;}else{return mid;}}else{if (a[right] > a[mid]){return right;}if (a[mid] > a[left]){return left;}else{return mid;}}
}

缺陷2、

前面说过，当用left作为key值时，right先走，且right找小，找到小了到left找大。
即：

while (left < right){while (a[right] > a[keyi])--right;while (a[left] < a[keyi])++left;Swap(&a[left], &a[right]);}

当排序的数据为 6 1 2 6 9 3 4 6 10 8 时，right向左边找小，找到的数据为6，left找大，找到的数据也为6，此时交换left和right之后，还是6不变，又重新循环right找小，left找大，这样永远会循环在6这个位置互相交换，就会出现死循环。

解决办法是加个等号。
如下：

while (left < right){while (a[right] => a[keyi])--right;while (a[left] <= a[keyi])++left;Swap(&a[left], &a[right]);}

缺陷3：

如果排序的数是 1 2 3 4 5
此时选1做key，先right找小，就会不断–，–这样会出现–到比left还小，就会出问题。

综合来看，需要这样改进：

while (left < right){while (left < right && a[right] => a[keyi])--right;while (left < right && a[left] <= a[keyi])++left;Swap(&a[left], &a[right]);}

小区间优化（每种方法都可用）

了解小区间优化之前， 我们需要知道一个问题：

当数据量很大的时候，比如有一千万个数据，我们需要对其进行排序：
使用递归的方法进行排序，难免出现递归深度深而出现效率降低的情况。

根据上图的情况可知，理想情况下，当有N个数据时，最小的递归深度是LogN。
此时，最后一层的递归次数是最多的，需要递归N/2次，也就是说，有100W个数据时，最后一层需要递归50W次！！那么倒数第二层需要递归25W次，倒数第三层需要递归12.5W次，假如我们能够把最后三层递归的次数消去，既能提高效率，也能减小递归消耗的栈空间。

所以当数据个数为10个以下时，就不需要用快排了，我们可以用直接插入排序来代替快排。
这就是为什么你在下面的代码能够看到当数据个数小于10，用插入排序的原因。

Hoare实现代码

void QuickSort1(SortDataType* a, int left, int right)
{//递归结束条件if (left >= right)return;int keyi = PartSort1(a, left, right);//递归下去// [left, keyi-1] keyi [keyi+1, right] //小区间优化，如果数据个数小于10个，用直接插入排序if (keyi - left + 1 <= 10){InsertSort(a + left, keyi - left + 1);}else{QuickSort1(a, left, keyi - 1);}if (right - (keyi + 1) + 1 <= 10){InsertSort(a + keyi + 1, right - (keyi + 1) + 1);}else{QuickSort1(a, keyi + 1, right);}}// //Hoare
int PartSort1(SortDataType* a, int left, int right)
{ 随机选key//int randi = left + (rand() % (right - left));随机选到key后，把key放到左边的位置//Swap(&a[left], &a[randi]);// 三数取中int midi = GetMidNumi(a, left, right);//把key值挪到left位置if (midi != left)Swap(&a[midi], &a[left]);//出现了随机选key和三数取中选key的原因：假如要排的数是已经有序或者完全逆序，//使用固定的选left下标的值为key的话，快排的时间复杂度就是O(N^2)//为了优化快排，就采取随机选key或者三数取中的方法//这是一轮//铁律：左边做keyi值右边先走，右边做key值左边先走，能保证L和R相遇位置一定比keyi小//原因：情况1.R先走，找小，找到了，然后到L走，L找大，找到了，交换//L和R相遇的位置，就一定是比key小的int keyi = left;while (left < right){//排升序//右边找小//必须要给定left<right这个条件，否则如果是1 2 3 4 5这组数据，right会--到越界//必须要给等于号，否则可能会死循环//比如这组数据： 5 1 2 5 8 9 5 6 8//停下来的位置都是跟key相同的，两个相同的交换还是一样，就产生了死循环while (left < right && a[right] >= a[keyi])--right;//左边找大//必须要给定left<right这个条件，否则如果是5 4 3 2 1这组数据，left会++到越界while (left < right && a[left] <= a[keyi])++left;//找到之后交换，实现了比key小的在左边，比key大的在右边Swap(&a[left], &a[right]);}//退出循环就是left == right 了，那就交换keyi和left或者keyi和right都行Swap(&a[keyi], &a[left]);// [begin, keyi-1] keyi [keyi+1, end] //完成了一轮排序，找到了一个keyi，返回//注意，返回的是下标，此时keyi经过交换之后,key的下标在left/right位置//所有返回的是left/right，而不是返回keyi,或者你可以更新keyi然后返回keyi = left;return keyi;}

2.挖坑法（推荐）

挖坑法：顾名思义，挖坑，填坑的过程。

思路：

首先选取一个key（三数取中），选出来保存之后，left就留下了一个坑位，（在实际的数据中left下标对应的值仍然存在，这里的填坑本意是覆盖），于Hoare法相似，左边做key，right先走，找比key小的，找到之后放在left这个坑位中，此时right又形成了一个新的坑位，然后轮到left找大，left找到之后，将数填入right这个坑中，此时left又形成了新的坑位，这样循环，直到left和right相遇。

结果：保证了key的左边比key小，右边比key大。然后再递归key的左右子区间即可。

实现代码：

//挖坑法的难点在于key只是一个临时变量，hole是坑的下标，变量和下标易于混淆
//右边找小左边找大的过程中，可能出现右边找小找不到最后找出数组范围了，所以要限制left<right
//同理左边找大也是
//挖坑法
void QuickSort2(SortDataType* a, int left, int right)
{//递归结束条件if (left >= right)return;int begin = left, end = right;// 三数取中int midi = GetMidNumi(a, left, right);//把key值挪到left位置if (midi != left)Swap(&a[midi], &a[left]);//这个key只是一个临时变量int key = a[left];int hole = left; // 坑位while (left < right){// 右边找小while (left < right && a[right] >= key)right--;//找到了，填坑a[hole] = a[right];hole = right;// 左边找大while (left < right && a[left] <= key)left++;//找到了，填坑a[hole] = a[left];hole = left;}//把key放到最后的坑里面a[hole] = key;if (hole - 1 - begin <= 10){InsertSort(a + begin, hole - 1 - begin + 1);}else{QuickSort2(a, begin, hole - 1);}if (end - hole + 1 <= 10){InsertSort(a + hole + 1, end - hole + 1 +1);}else{QuickSort2(a, hole + 1, end);}}

3. 前后指针法（力荐）

前后指针法是相对来说最好实现，细节不需要考虑那么多的方法。

思路：首先，给定两个下标prev和cur（说是前后指针法，是为了方便理解，其实指针法也不一定非得要指针） ，prev存left位置的下标，cur = prev 的下一个位置的下标。
key也是使用三数取中法来求key，然后放到left位置。

其次：cur先走，往后找比key小的；
1.如果比key小，先++prev，再交换cur和prev对应的值，最后++cur。
2.如果比key大，直接++cur。

这样不断循环，直到cur大于right为止。

最后将keyi对应的key和prev对应的值交换。（重点）

实现了比key小的在左边，比key大的在右边。

你会发现prev和cur就像一个车轮，不断将比key小的数转到左边，比key大的数转到右边。

实现代码

void QuickSort3(SortDataType* a, int left, int right)
{//递归结束条件if (left >= right)return;int begin = left, end = right;//三数取中法求keyint midi = GetMidNumi(a, left, right);if(midi!=left)Swap(&a[midi], &a[left]);int keyi = left;int prev = left;int cur = prev + 1;while (cur <= right){//也可以这样写if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)Swap(&a[prev], &a[cur]);++cur;//下面这样写逻辑比较清晰，好懂//if (a[cur] < a[keyi])//{//	++prev;//	//自己跟自己没有交换的必要，浪费时间//	if(cur != prev)//		Swap(&a[prev], &a[cur]);//	++cur;//}//else//{//	++cur;//}}//切记不能交换//Swap(&a[prev], &key);//key只是一个临时变量，交换了它，跟没交换一样，因为跟临时变量交换与数组的交换无关Swap(&a[prev], &a[keyi]);keyi = prev;if (keyi - 1 - begin + 1 <= 10){InsertSort(a, keyi - 1 - begin + 1);}else{QuickSort3(a, begin, keyi - 1);}if (end - (keyi + 1) + 1 <= 10){InsertSort(a, end - (keyi + 1) + 1);}else{QuickSort3(a, keyi + 1, end);}}

快速排序非递归法

思路：对于递归方法来说，每次递归左右子区间需要建立栈帧，所以我们的非递归方法可以模拟递归的栈。

建立一个栈。

首先将left和right下标入栈，由于栈的特性是后进先出，所以需要先入right再入left。
（如果不想考虑那么多，可以用一个结构体存储left和right的下标。（这个可以下去尝试））

取出栈顶的left和right元素后，使用上面的三种排序方法中的任意一种来进行第一轮排序。 第一轮排序完成后， 就获得了下面的区间：

【left， keyi-1】 keyi 【keyi+1，right】

类似栈一样，先递归左子区间，所以需要先入栈右子区间，再入栈左子区间。
（栈是后进先出的特性）

不断入栈出栈的过程就实现了快排的递归。

栈代码
void StackInit(ST* ps)//初始化
{assert(ps!=NULL);ps->a = NULL;ps->top = ps->capacity = 0;//ps->top可以初始化成-1，此时先++，再赋值//此时指向的就是栈顶元素
}void StackDestroy(ST* ps)
{assert(ps);free(ps->a);ps->a = NULL;ps->top = ps->capacity = 0;
}void CheckCapacity(ST**ps)//检查容量
{assert(ps != NULL);if ((*ps)->top == (*ps)->capacity){STDataType newcapacity = (*ps)->capacity == 0 ? 4 : (*ps)->capacity * 2;STDataType* tmp = (STDataType*)realloc((*ps)->a,(sizeof(STDataType)*newcapacity));//申请的空间是存放STDataType的//不是用来存放结构体的//如果第一个参数是一个NULL，realloc的作用就跟malloc一样，所以可以传NULLassert(tmp != NULL);(*ps)->a = tmp;// 把新地址给ps->a(*ps)->capacity = newcapacity;}
}void StackPush(ST* ps, STDataType x)//插入元素
{assert(ps);CheckCapacity(&ps);//这里如果传参传的是ps，相当于传值调用，在CheckCapacity函数内部申请的空间就无法返回来了。ps->a[ps->top] = x; // 先赋值，再++，因为ps->top初始化是0，就是指向栈顶元素的下一个。ps->top++;
}void StackPop(ST* ps)//删除栈顶数据
{assert(ps);assert(!StackEmpty(ps));ps->top--;
}STDataType StackTop(ST* ps)//取栈顶元素
{assert(ps);assert(!StackEmpty(ps)); //感叹号表达式让语句的逻辑相反return ps->a[ps->top - 1];
}int StackSize(ST* ps)//计算栈有多少个数据
{assert(ps);assert(!StackEmpty(ps));return ps->top;
}bool StackEmpty(ST* ps)//判断栈是否为空
{assert(ps);return ps->top == 0;
}//快排非递归写法：模拟栈实现非递归
//思路：先求出一个keyi出来，然后分成左右两个子区间，分别入栈，入栈先入右区间再入左区间
//int PartSort3(SortDataType* a, int left, int right)
{//三数取中法求keyint midi = GetMidNumi(a, left, right);if (midi != left)Swap(&a[midi], &a[left]);int keyi = left;int prev = left;int cur = prev + 1;//1.cur指针指向的位置如果小于key，先++prev，然后Swap（cur，prev），然后再++cur
//2.cur指针指向的位置如果大于key，直接++curwhile (cur <= right){//也可以这样写if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)Swap(&a[prev], &a[cur]);++cur;//下面这样写逻辑比较清晰，好懂//if (a[cur] < a[keyi])//{//	++prev;//	//自己跟自己没有交换的必要，浪费时间//	if(cur != prev)//		Swap(&a[prev], &a[cur]);//	++cur;//}//else//{//	++cur;//}}//切记不能交换//Swap(&a[prev], &key);//key只是一个临时变量，交换了它，跟没交换一样，因为跟临时变量交换与数组的交换无关Swap(&a[prev], &a[keyi]);//更新keyi的下标keyi = prev;return keyi;
}void QuickSortNonR(SortDataType* a, int left, int right)
{ST st;StackInit(&st);//入的时候是先右后左StackPush(&st, right);StackPush(&st, left);while (!StackEmpty(&st)){//出的时候是先左后右int begin = StackTop(&st);StackPop(&st);int end = StackTop(&st);StackPop(&st);//划分区间，这里的PartSort3其实就是第三种前后指针法分出来的int keyi = PartSort3(a, begin, end);//只有一个数据的时候就不用入栈了if (keyi + 1 < end){StackPush(&st, end);StackPush(&st, keyi + 1);}if (begin < keyi - 1){StackPush(&st, keyi - 1);StackPush(&st, begin);}}//当栈空了就排完了StackDestroy(&st);
}

快排复杂度

快排每排序一次，需要遍历n个数据，递归深度是logN，最坏情况下递归深度为N，所以最坏情况时间复杂度为O(N^2)。

但是快排可以优化，优化后递归的最大深度为N，所以快排时间复杂度为O（NlogN）

空间复杂度O(LogN)~O(N) (其中O(N)是最坏情况)

稳定性：不稳定

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七、归并排序

归并排序是将一段区间分成若干个子问题，子问题再次分成子问题，这个是分治过程；最后分成的子问题只存在一个数时，就可以开始合并，合并的过程就是比较两个子问题的过程，合并完成后将合并的新数据拷贝到原数据即可。

递归实现归并排序

递归实现归并排序，就是把一个大的数组分治分治，不断分治下去成一个小的数组，
最后分治成只有一个数字为止，然后每一个数字之间两两合并成2个数字，两组数组的两个数字之间再合并成4个数字，以此类推，知道合并成最后一个大的数组为止。

第一步：通过left和right下标找到数组中间位置的下标，以该下标为界限，划分成两组数据。

第二步：重复第一步的过程，但是先把左边的组彻底分完，再分右边的组，是二叉树的前序遍历的思想。

第三大步：不断进行分治，直到分解到还剩一个元素时停下来，判断只有一个元素，就是当left>=right时。

第四步：两两比较，四四比较合并

注意：每次合并完都需要把tmp的数据拷贝回原数组。

最后一步：两个子区间合并成总的区间：
注意：每次合并完都需要把tmp的数据拷贝回原数组。

实现代码：

void _MergeSort(SortDataType* a, int left, int right, SortDataType* tmp)
{if (left >= right){return;}int mid = (left + right) >> 1; // 右移一位相当于/2int begin1 = left, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = right;int index = left; // tmp的下标，不能从0开始，因为有些归并是不会从0开始的。_MergeSort(a, begin1, end1, tmp);_MergeSort(a, begin2, end2, tmp);while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[index++] = a[begin1++];}else{tmp[index++] = a[begin2++];}}//到这里不知道是谁先结束的，所以都要判断while (begin1 <= end1){tmp[index++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = a[begin2++];}//拷贝回去//for (int i = left; i <= right; ++i)//{//	a[i] = tmp[i];//}// source, destination , size//每次归并完都拷贝一次memcpy(a + left, tmp + left, sizeof(SortDataType) * (right - left + 1));
}void MergeSort(SortDataType* a, int n)
{SortDataType* tmp = (SortDataType*)malloc(sizeof(SortDataType) * n);_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);}

非递归实现归并排序

对于递归实现归并排序来说，是把大问题分成小问题，是自上往下分的。

而对于非递归来说，是从小问题开始合并成大问题，是从下往上分的。

以上面的数字为例：
大致思路如下：

非递归难点1：

但面临第一个问题：
如何选择从一一开始比较到两两开始比较

选择用gap
gap表示每次归并时每组的数据个数
初始时gap = 1，表示第一次是一一比较，每合并完一轮，gap*2，下一轮进行两两比较，以此类推。

非递归难点2：

不过，第二个理解的难点在于：begin1和end1，begin2和end2该如何选择的问题！

首先是i每次跳跃2×gap，因为一开始是一一比较，比较完一次相当于比较了两个数据，
而gap的含义就是每次合并时每组的数据个数！
那么就需要跳过2 ×gap的长度。

其次是begin1 和end1，begin1 = i 好理解；
end1 = i+gap-1是这样的：i+gap表示从begin1开始的往后的gap个数据， 由于是数据，那么-1才是下标。
而begin2 = i+gap也好理解，end1的后面一个就是begin2；
end2 = i+2*gap-1，就是从i位置开始，跳跃2×gap的数据个数到达最后一个需要比较的数据，-1就是这个最后的数据的下标。

非递归难点3：

难点3在于边界如何处理

先讲讲归并完一串数字如何拷贝回原数组：
1.一次性拷贝法，也叫梭哈拷贝法（不推荐）
2.每合并一次，就拷贝一次（推荐）

1.梭哈拷贝法：就是到合并完所有的数据之后再一次性拷贝回原数组，简单粗暴。

2.每合并一次就拷贝一次：在一一合并成两个有序数据之后，就拷贝会原数组。

这里的边界有三种情况：
第一种：end1越界了，如下情况，当合并到四四比较时，begin1刚好为末位置，那么end1开始都越界了：

这里的处理方法有两种，但不同的方法是根据如何将归并好的数据拷贝回原数组决定的。

如果是梭哈拷贝法，不管哪种情况，都要修正过来。

先说end1越界的情况，如果是采用梭哈拷贝法一次性拷贝会原数组，就要让end1修正到
end1 = n-1 ,让begin2和end2修正到一个不存在的区间，比如：
begin2 = n ，end2 = n-1。这样做的目的是不让begin2、end2这个区间进入循环，防止拷贝到界外的数据。
如下：

begin2 和end2的修正当然不唯一，只要修正到一个不存在的区间即可。

第二种：begin2越界

可能发生的begin2越界如下：

第二种情况处理方式与第一种相同，在梭哈拷贝法的前提下，需要修正begin2 、end2这两个数据到一个不存在的区间，防止它们被拷贝。
比如：begin2 = n,end2 = n-1。
如下：

第三种：end2越界

此时只需要把end2修正到n-1位置即可,
如下：

注意：begin1是不可能越界的，begin1是不可能越界的，begin1是不可能越界的，因为如果begin1越界了，那后面的end1，begin2，end2全都越界了，那还归并啥！

实现代码

梭哈写法代码如下：

void MergeSortNonR(SortDataType* a, int n)
{SortDataType* tmp = (SortDataType*)malloc(sizeof(SortDataType) * n);assert(tmp);int gap = 1;//gap 是归并过程中，每组数据的个数while (gap < n){for (int i = 0; i < n; i+=2*gap){//理解难点//当gap为2时，i每次都会走2步，相当于跳过一个归并组int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;int index = i;//梭哈修正写法,但是不推荐if (end1 >= n){end1 = n - 1;begin2 = n;end2 = n - 1;}else if (begin2 >= n){begin2 = n;end2 = n - 1;}else if (end2 >= n){end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[index++] = a[begin1++];}else{tmp[index++] = a[begin2++];}}//到这里不知道是谁先结束的，所以都要判断while (begin1 <= end1){tmp[index++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = a[begin2++];}}//不推荐//法1：梭哈法：一次性整体拷贝 memcpy(a, tmp, sizeof(SortDataType) * n);gap *= 2;}free(tmp);tmp = NULL;	
}

二、如果是每归并一次，就拷贝一次数据回到原数组的拷贝方法的话，处理情况就不同。

在合并一次拷贝一次的情况下：

1.end1 越界了

因为是合并一次拷贝一次，则前面的红色的数据已经全部从tmp临时数组拷贝回到原数组了，至于3这个数据，不需要再拷贝到tmp了，让他留在原来的地方即可。
所以处理方法是直接break

2.begin2 越界了

与end1越界的情况相同，因为是合并一次拷贝一次，则前面的红色的数据已经全部从tmp临时数组拷贝回到原数组了，至于后面的数据，不需要再拷贝到tmp了，让他留在原来的地方即可。
所以直接break

3.end2越界

同样的，如果是end2越界，就需要修正end2到n-1位置，保证begin1 和begin2可比即可。
所以修正 ：end2 = n-1

走一步拷贝一步的非递归写法如下：

void MergeSortNonR(SortDataType* a, int n)
{SortDataType* tmp = (SortDataType*)malloc(sizeof(SortDataType) * n);assert(tmp);int gap = 1;//gap 是归并过程中，每组数据的个数while (gap < n){for (int i = 0; i < n; i+=2*gap){//理解难点//当gap为2时，i每次都会走2步，相当于跳过一个归并组int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;int index = i;//法2：三种情况，但是前两种情况可以使用相同的方法解决//如果end1越界了，那就不归并了，//如果begin2越界了，那也不归并了if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}//如果end2越界了，让end2修正到n-1位置if (end2 >= n){//修正end2 = n - 1;}while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] <= a[begin2]){tmp[index++] = a[begin1++];}else{tmp[index++] = a[begin2++];}}//到这里不知道是谁先结束的，所以都要判断while (begin1 <= end1){tmp[index++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = a[begin2++];}// destination  source  size//推荐//法2：归并一点，拷贝一点，需要画图理解//如果是end1 或begin2大于等于n的时候越界//不同于梭哈一次性拷贝，梭哈拷贝需要把所有的拷贝进tmp，必须再拷回去，虽然做了无用功，但是是必须做的，这也是比较挫的地方//这个法2没做无用功，既然end1或者begin2越界了，那就干脆不拷贝了memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(SortDataType) * (end2 - i+1));}gap *= 2;}free(tmp);tmp = NULL;	
}

注意两种写法中，拷贝的代码放在了while循环的不同位置！

归并排序复杂度

归并排序具有稳定性，即对于两个及以上的相同数据，归并排序前后不会改变相同数据的相对位置，这个就是稳定性。

归并排序对数据的顺序是不敏感的。

归并排序时间复杂度为O(NlogN)，从一一归并开始，每次归并都需要遍历所有数据，但由于是二路归并，所以n个数据的 ”高度“是logN，即没进行一层，就需要遍历一次所有数据，所以时间复杂度就是O(NlogN).

空间复杂度：O(N)，因为需要开辟一个临时数组来保存合并好的值，所以空间复杂度是O(N).

八、计数排序

计数排序是对每个数据进行计算出现的次数的排序。

这里引入了绝对映射和相对映射的概念。先讲绝对映射：
绝对映射就是：针对一组数据，先遍历找出该组数据的最大值，开辟一块最大值+1的空间，用来对每个数据进行遍历计数。

获得每个数据出现的次数后，通过按顺序遍历Count这个计数数组，就可以对该数据进行排序了。

但是这里有一个问题，假如这组数据是 ：

1 0 0 1 1 0 2 99999

那么我们开辟的空间是这组数据的最大值+1，也就是要开辟10W块空间！
这是一个惊人的数字，这样做消耗了大量的空间，有一种方法可以解决这样的问题：

相对映射可以解决。

相对映射就是，遍历一遍数据，找出max和min， 我们只需要开辟max-min+1的空间就足够了！

假如我们需要排序这样的数据

10 20 11 14 15 11 17 19 13

第一步：先遍历找出max 和min ，此时max = 30，min = 10
那么我们只需要开辟 max - min +1的空间就可以了。
这一块空间包含了所有在最大和最小值之间的值了。

相对映射处理法：

所以在排序较为集中的数据的时候，计数排序效率是最高的，甚至比快速排序还要高。

实现代码：

void CountSort(SortDataType* a, int n)
{int min = a[0];int max = a[0];
//找max和minfor (int i = 1; i < n; ++i){if (min > a[i]){min = a[i];}if (max < a[i]){max = a[i];}}//calloc(num，size) ,自动初始化为0int range = max - min+1;//这里必须是max - min +1，假如max = 10，min = 0，max-min = 10，但是实际上有11个数据。//左闭，右闭区间，需要+1SortDataType* Count = (SortDataType*)calloc(range, sizeof(SortDataType));if (Count == NULL){perror("malloc fail\n");exit(-1);}//计数for (int i = 0; i < n; ++i){Count[a[i] - min]++;}//拷贝回原数组int j = 0;for (int i = 0; i < range; i++){while (Count[i]--){a[j++] = i+min;}}}

计数排序也有缺点：计数排序更加适合那些排序的数据较为集中的数据，并且计数排序不能排浮点数，结构体这样的类型，只能排序整型。

计数排序复杂度

时间复杂度：遍历一遍数组找max和min，为O（N）
再遍历一遍数组进行计数，为O(N)
将计数后的数据按顺序放会原数组，为O(N)
所以计数排序时间复杂度为O（N）

开辟max-min+1个空间
空间复杂度为O（max-min+1）

八大排序总结：

稳定性是：一组数据进行了某种排序后，相同的元素的相对位置不改变，则该排序就是稳定的。比如：一组数据为： 2 1 5 9 3 5，如果两个5的相对位置没有改变，那就稳定。

判断排序算法是否稳定，需要回忆算法的思想，该算法是如何做到排序的过程。

冒泡排序：稳定。
原因：两两比较，然后进行交换，对于相同的数据，如果不交换，就可以做到稳定了。

直接选择排序：不稳定。
原因：假如一组数据为： 2 2 1 3 1，第一轮，选出最小的和最大的，然后分别和left和right下标对应的值交换，那么交换后第一个2 和第二个2的相对位置就改变了。

直接插入排序：稳定。
原因：对于相同的数，直接插入在其后面即可。可以做到稳定。

希尔排序：不稳定。
原因：在进行预排序的时候，相同的数据可能被分到不同的组，预排序完成后相同的数据的相对位置可能改变。

堆排序：不稳定。
原因：建堆过程就不稳定，假如建堆没有改变相同的数的相对顺序，那么堆排序的过程，假设建大根堆，那么根位置的数据与最后一个数据交换后，此时堆顶的元素是比较小的，需要向下调整，调整过程中也会出现相同数据的相对位置改变的情况。

归并排序：稳定。
原因：只要相同的元素不比较即可。

快排：不稳定。
原因：假如一组数据是这样的分布：

在排完一趟后，最后一步需要将left和中间的某一个keyi应该在的位置交换，就造成了相对位置不同的问题。

三：重点算法总结

通过学习掌握算法设计的主要方法，对算法的时、空复杂性有正确分析的能力，能够针对具体的应用问题选择合适的数据结构并设计结构清晰、正确有效的算法，为独立设计算法和对算法进行复杂性分析奠定坚实的理论基础。