堆排序+TopK问题-编程知识

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本期带大家学习堆排序+TopK问题🌈🌈🌈

1、堆排序

堆排序，是根据堆的结构而设计出的一种排序算法，其时间复杂度：O(N * logN)，空间复杂度：O(1)。

堆排序的前提是需要构建一个堆，而建堆有两种方法：

向上调整建堆

向上调整算法（Upward Heapify）用于在堆中插入新元素后，调整堆的结构，以满足堆的性质

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那么时间复杂度是多少呢
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对于向上调整建堆，在每一层中都需要进行调整操作。假设二叉树总共有 h 层，除了第一层外，其他层的节点数是递增

的，最后一层的节点数为 2^(h-1) * (h-1)。经过计算和简化，可以得出最后一层节点数为 2^h * (h-1)/2。

假设二叉树的总节点数为 N，如果假设每一层都是满的，那么每层节点数会形成一个等比数列：2^0, 2^1, 2^2, … , 2^(h-1)。

通过等比数列求和，可以得出二叉树的总节点数为 2^h - 1。由此可以推导出二叉树的高度 h 与节点数 N 之间的关系为 2^h - 1 = N。

将式子 2^h * (h-1)/2 进行转换，可以得到 (N+1)(logN-1)/2 的形式。在时间复杂度分析中，省去常数项和除数，可以得出向

上调整算法的时间复杂度为 O(N * logN)。

综上所述，向上调整建堆的时间复杂度为 O(N * logN)，其中 N 是二叉树的节点数。

向下调整建堆

向下调整建堆的话需要保证左右子树都是堆

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所以我们可以得知向下调整建堆的时间复杂度是O（n）

然而向上调整建堆和向下调整建堆的时间复杂度不一样

所以我们选择最佳时间复杂度进行建堆

选择大堆还是小堆

比如，我们现在实现降序排列

那我们是选择建立小堆还是建立大堆？？

我们假设降序的话我们选择建立大堆

那我们堆顶的元素就是最大的，那他的位置就保持不动

去选择次大的元素

但是次大的元素是在左右子树当中

假设我们把剩下的数据看作堆的话，那么堆的关系就全乱了，所以我们排除降序建立大堆’

那我们选择降序建立小堆，那么堆顶的元素就是最小的，我们这时候将堆顶的元素和堆当中元素进行交换

然后堆中最小的元素就放到了最后，然后堆顶的元素在进行向下调整，循环，这样子我们就可以得到降序的数据

// 交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}// 向下调整
void AdjustDown(int* a, int sz, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;// 建小堆while (child < sz){if (child + 1 < sz && a[child + 1] < a[child]){child++;}// 判断孩子是否小于父亲if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int sz)
{// 建堆for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, sz, i);}// 此刻堆已经建好了// 排升序，已经建了大堆，就需要调整元素int end = sz - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}void TestHeap1()
{int array[] = { 27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };HeapSort(array, sizeof(array) / sizeof(int));for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(int); ++i){printf("%d ", array[i]);}printf("\n");
}int main()
{TestHeap1();
}

2、TopK问题

对于TopK问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。

对于TopK问题的话，核心思想就是建立一个K个数据的堆

比如我们需要100个最大的数据

我们可以建立一个100个数据的小堆

然后我们从先读取前100个数据，然后再用向下调整建堆

然后再读取剩下的数据，假设读取的数据比我的堆顶的数据还要小，那么就不进来

如果比堆顶的数据要大的话，那么就把堆顶数据换掉，在使用向下调整算法调整堆

直到数据被读取完，那么就前100大的数据就是堆当中的了

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建小堆的时间复杂度为：O(k)，遍历选数的时间复杂度为：O(N - k) * logk。那么总体就是 k + (N - k) * logk，化简一下就为：O(N * logk)。

而空间复杂度由于建了 k 个数的堆，就是O(k)

这里选择读取文件来实现TopK问题

void CreateNDate()
{int n = 10000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fp = fopen(file,"w");if (fp == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < 10000; i++){fprintf(fp, "%d\n", rand() % 10000);}fclose(fp);}//TopK问题的解决办法是建立一个有K个数据的堆//然后再进行相关的操作
void TestTopK()
{//CreateNDate();int k = 10;const char* file = "data.txt";FILE* fp = fopen(file,"r");if (fp == NULL){perror("fopen error");return;}int* topk = (int*)malloc(sizeof(int) * k);for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fp, "%d", &topk[i]);}//建小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(topk, k, i);}while(!feof(fp)){int val = 0;fscanf(fp, "%d", &val);if (val > topk[0]){topk[0] = val;AdjustDown(topk, k, 0);}}printf("\n");for (int i = 0; i < k; i++)printf("%d ", topk[i]);fclose(fp);}