第九周算法题(哈希映射,二分,Floyd算法 (含详细讲解) )

第九周算法题

第一题

题目来源:33. 搜索旋转排序数组 - 力扣(LeetCode)

题目描述:整数数组 nums 按升序排列,数组中的值 互不相同

在传递给函数之前,nums 在预先未知的某个下标 k0 <= k < nums.length)上进行了 旋转,使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]](下标 从 0 开始 计数)。例如, [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2]

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ,如果 nums 中存在这个目标值 target ,则返回它的下标,否则返回 -1

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1:

输入:nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出:4

解题代码:

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int r = nums.size() - 1;int l = 0;while (l < r) {int mid = l + r >> 1;int idx = -1;if (nums[l] <= nums[mid] && (target<nums[l] || target>nums[mid])) {l = mid + 1;idx = 0;continue;}else {if (nums[l] <= nums[mid]) {r = mid;continue;}}if (nums[mid + 1] <= nums[r] && (target<nums[mid + 1] || target>nums[r])) {r = mid;idx = 1;continue;}else {if (nums[mid + 1] <= nums[r])  l = mid + 1;}}if (nums[l] == target) return l;else return -1;}
};

解题思路

本题主要的难度在于如何在O(log n) 的时间复杂度内完成本题,而看到这个时间复杂度,我们能自然而然地想到二分。而我们知道,在一个有序数组内用二分查找是很简单的,而对于本题,不是一个有序的数组,怎么办呢?
我们观察规律可知,我们把数组分为任意的两个区间,对于两个区间,至少有一个区间是有序的。而如果左边有序但target不在区间中,或者右边有序但是target又不在右边的区间中,那我们直接搜索另一半即可。注意,我们判断的是nums[l] <= nums[mid] && (target<nums[l] || target>nums[mid]),它是判断是否有序且不在区间内,如果有序且在区间内,我们就搜索左边的区间,所以我们补上一手else,当然,在每次满足条件的情况下,记得即使break出循环哦,不然会进入到后面的判断里去。

第二题

题目来源:36. 有效的数独 - 力扣(LeetCode)

题目描述:

请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ,验证已经填入的数字是否有效即可。

  1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
  2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
  3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。(请参考示例图)

注意:

  • 一个有效的数独(部分已被填充)不一定是可解的。
  • 只需要根据以上规则,验证已经填入的数字是否有效即可。
  • 空白格用 '.' 表示。

示例 1:

img

输入:board = 
[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出:true

示例 2:

输入:board = 
[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出:false
解释:除了第一行的第一个数字从 5 改为 8 以外,空格内其他数字均与 示例1 相同。 但由于位于左上角的 3x3 宫内有两个 8 存在, 因此这个数独是无效的。

提示:

  • board.length == 9
  • board[i].length == 9
  • board[i][j] 是一位数字(1-9)或者 '.'

解题代码:

class Solution {
public:
​    vector<pair<int,int>>g[10];bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) {bool ret=true;for(int i=0;i<board.size();i++){for(int j=0;j<board[0].size();j++){if(board[i][j]=='.'){continue;}int num=board[i][j]-'0';if(g[num].empty()){
​          g[num].push_back(make_pair(i,j));continue;}else{for(int k=0;k<g[num].size();k++){if(g[num][k].first==i||g[num][k].second==j){
​                ret=false;return ret;}int x1=i,x2=g[num][k].first,y1=j,y2=g[num][k].second;if(x1/3==x2/3 && y1/3==y2/3){
​                ret=false;return ret;}}if(ret){
​            g[num].push_back(make_pair(i,j));}}}}return ret;}
};

解题思路:

这段代码的主要思想是使用哈希表(在这里是 g)来跟踪每个数字的位置,然后通过检查新位置是否与已存在的位置冲突来判断数独是否有效。这是一种常见的空间换时间的策略,通过使用额外的空间来减少时间复杂度。在这个问题中,时间复杂度和空间复杂度都是O(1),因为无论数独的大小如何,我们都只检查81个单元格,且哈希表的大小也是固定的。这是一种非常高效的解决方案。
  1. vector<pair<int,int>>g[10];:这是一个包含10个向量对的数组,用于存储每个数字(1-9)在数独中的位置。每个数字的所有位置都存储在一个向量对中。
  2. bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board):这是主函数,输入是一个二维字符向量,表示数独的布局。
  3. 在主函数中,首先定义了一个布尔变量 ret,并初始化为 true。这个变量用于记录数独是否有效。
  4. 然后,使用两个嵌套循环遍历数独的每个单元格。如果单元格为空(即 board[i][j]=='.'),则跳过当前循环。
  5. 如果单元格不为空,则将字符转换为数字(int num=board[i][j]-'0')。然后检查该数字是否已经在数独中出现过。
  6. 如果这是数字的第一次出现(即 g[num].empty()true),则将其位置添加到 g[num] 中。
  7. 如果数字已经出现过,则遍历 g[num] 中的每个位置,检查当前位置是否与任何已存在的位置在同一行、同一列或同一个3x3的子方格中。如果是,则将 ret 设置为 false 并立即返回。
  8. 如果当前位置与 g[num] 中的所有位置都不冲突,则将当前位置添加到 g[num] 中。
  9. 在遍历完所有单元格后,返回 ret。如果 ret 仍为 true,则数独有效;否则,数独无效。

第三题

题目来源:854. Floyd求最短路 - AcWing题库

题目描述:

给定一个n个点 m 条边的有向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

再给定 k 个询问,每个询问包含两个整数 x 和 y,表示查询从点 x 到点 y 的最短距离,如果路径不存在,则输出 impossible

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行,每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边,边长为 z。

接下来 k 行,每行包含两个整数 x,y,表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式

共 k 行,每行输出一个整数,表示询问的结果,若询问两点间不存在路径,则输出 impossible

数据范围

1≤n≤200
1≤k≤n^2
1≤m≤20000
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例:
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例:
impossible
1

解题代码:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#define N 2000005
using namespace std;
int n,m,k,qb,qe;
int matrix[205][205]; 
void init(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j){matrix[i][j]=0;continue;}matrix[i][j]=N;}}return ;
}
void floyd_deal(){for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==k||j==k){continue;}else{matrix[i][j]=min(matrix[i][j],matrix[i][k]+matrix[k][j]);}}}}
}
int main(){cin>>n>>m>>k;init();int b,e,val;for(int i=0;i<m;i++){scanf("%d %d %d",&b,&e,&val);matrix[b][e]=min(matrix[b][e],val);}floyd_deal();for(int i=0;i<k;i++){scanf("%d %d",&qb,&qe);if(matrix[qb][qe]<200000) printf("%d\n",matrix[qb][qe]);else printf("impossible\n");}   
return 0;
}

解题思路:

  1. 初始化:在init()函数中,我们首先将所有的路径长度设为一个非常大的数(在这里是N),然后将每个节点到自身的路径长度设为0。这是因为在开始时,我们假设所有的节点之间都没有直接的路径(或者说路径非常长),只有节点自身到自身的路径长度是0。
  2. 输入数据:在main()函数中,我们首先输入节点的数量n,边的数量m,以及查询的数量k。然后,我们输入每条边的信息,包括起点b,终点e,以及这条边的长度val。我们将matrix[b][e]设为val,表示节点b到节点e的路径长度为val
  3. Floyd-Warshall算法:在floyd_deal()函数中,我们使用Floyd-Warshall算法来找出所有节点之间的最短路径。这个算法的基本思想是,对于每一个节点k,我们尝试通过k来更新所有其他节点对之间的路径长度。具体来说,对于任意的两个节点ij,如果通过k的路径比当前的路径更短,那么我们就更新matrix[i][j]matrix[i][k]+matrix[k][j]
  4. 查询:最后,在main()函数中,我们进行k次查询。每次查询输入两个节点qbqe,然后输出matrix[qb][qe],即节点qb到节点qe的最短路径长度。如果这个长度小于200000,那么我们就输出这个长度;否则,我们输出"impossible",表示节点qb到节点qe之间没有路径。

最后详细的讲一讲floyd算法:

什么是floyd算法:

首先,有一件事值得我们肯定,至少它不是那个著名心理学家西格蒙德·弗洛伊德所提出的算法,哈哈,事实上,该算法(Floyd’s algorithm)是一种用于寻找图中所有节点之间最短路径的算法。它通过动态规划的方式来计算所有节点之间的最短路径,具体步骤如下:
  1. 初始化一个二维数组来存储节点之间的距离,如果两个节点之间有直接连接,则存储它们之间的距离,否则用无穷大表示。
  2. 对于每一对节点i和j,遍历所有节点k,如果从节点i到节点j经过节点k的路径比直接从i到j的路径更短,则更新节点i到节点j的距离为经过节点k的路径长度。
  3. 重复以上步骤直到所有节点之间的最短路径都被计算出来。

Floyd算法的时间复杂度为O(n^3),其中n为节点的个数。它适用于有向图和无向图,并且可以处理带有负权边的图。因此,Floyd算法是一种非常常用的最短路径算法。

让我们再用一张图来具体看看:

在这里插入图片描述

纯手画,字丑见谅
对于初始邻接矩阵,我们对他进行初始化,把自身到自身的长度初始化为0,把不存在的边初始化为无穷,意为无法到达,对于每一次录入一条边,我们都要比较本次两点直接路径的长度和已有两点直接路径的长度,并取最小值保存。(为了防止有些阴间测试点,比如一条边多次录入,值不一样的情况),这就完成了预处理阶段。
然后开始使用Floyd算法开始处理,处理途径一号点到n号点的情况,即循环n次,对于第i次循环,我们忽略行i,列i的情况,而对于其他节点(x,y),我们将当前值与(x,i)+(i,y)比较,并取最小值。如第二次循环的(1,3),它原本的值是87,是1到3的直接结果,根据向量的运算,1->3==1->2+2->3,所以我们前面说我们将当前值与(x,i)+(i,y)比较,并取最小值,这里取最小值53,即成功的记录了一次更短路。
而对于最后的询问的阶段,我们可以用o(1)的时间复杂度直接输出答案。

以上就是本周的分享,感谢您的阅读。

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