第七部分 二元关系

目录

主要内容

例1

笛卡儿积的性质

例2

注意:对于整除x整除y则,y/x为整数

例如

例3

关系的基本运算

例4 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}

例5

例6 

关系运算的性质

例7 设A = {a,b,c,d}, R = {,,,},d>,c>,a>,b>

 等价关系的定义与实例

例8 设 A={ a, b, c, d }, 给定 π1, π2, π3, π4, π5, π6如下:

哈斯图:

例9 偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, R整除>和

的哈斯图

({a,b,c}),r⊆>

例10 A={1,2,…,12},≼w为整除关系,B={x|x∈A∧2≤x≤4}在偏序集中求B的上界、下界、最小上界和最大下界,≼>

主要内容
有序对与笛卡儿积
二元关系的定义与表示法
关系的运算
关系的性质
关系的闭包
等价关系与划分
偏序关系
本章的概念特别多,一步一步慢慢来,很容易理解的

定义7.1 由两个元素 x y,按照一定的顺序组成的二元组称为有序对,记作<x,y>

 有序对性质:

(1) 有序性 < x , y > < y , x > (当 x y 时)
(2) < x , y > < u , v > 相等的充分必要条件是 < x , y >=< u , v > x = u y = v
即前一个数字跟另一个元素的前一个数字,后一个数字跟另一个元素的后一个数字一一对应
定义 7.2 A , B 为集合, A B 笛卡儿积 记作 A × B ,且 A × B = {< x , y >| x A y B }
A中元素分别与每个B中元素组合,即A×B,此时A中元素在第一位
B×A则B中元素在第一位
1
A ={1,2,3}, B ={ a , b , c }
A × B ={<1, a >,<1, b >,<1, c >,<2, a >,<2, b >,<2, c >,<3, a >,<3, b >,<3, c >}
B × A ={< a ,1>,< b ,1>,< c ,1>,< a ,2>,< b ,2>,< c ,2>,< a ,3>,< b ,3>,< c ,3>}
A ={ }, B =
P ( A ) × A = {< , >, <{ }, >}
P ( A ) × B =
笛卡儿积的性质

(1) 不适合交换律
A × B B × A ( A B , A ≠∅ , B ≠∅ )       因为A×B和B×A,结果中每位元素的第一位分别是A中元素和B中元素
(2) 不适合结合律
( A × B ) × C A × ( B × C ) ( A ≠∅ , B ≠∅ , C ≠∅ )
(3) 对于并或交运算满足分配律
A × ( B C ) = ( A × B ) ( A × C ) ( B C ) × A = ( B × A ) ( C × A )
A × ( B C ) = ( A × B ) ( A × C ) ( B C ) × A = ( B × A ) ( C × A )
(4) A B 中有一个为空集,则 A × B 就是空集 .
A ×∅ = ∅× B =
(5) | A | = m , | B | = n , | A × B | = mn       元素个数为A中元素个数×B中元素个数

定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一:

(1) 集合非空 , 且它的元素都是有序对
(2) 集合是空集
则称该集合为一个 二元关系 , 简称为关系,记作 R
如果 < x , y > R , 可记作 xRy ;如果 < x , y > R , 则记作 x y
简单来说,两个集合中的元素x和y之间有某种关系,这种关系是自己定义的

定义7.4

A , B 为集合 , A × B 的任何子集所定义的二元关系叫做 A B 的二元关系 , A = B 时则叫做 A 上的二元关系
例2

A={0,1}, B={1,2,3}

那么 R1={<0,2>}, R2 =A×B, R3 =, R4={<0,1>}

R 1 , R 2 , R 3 , R 4 是从 A B 的二元关系
对于R1,A×B中有<0,2>元素,所以为A×B的子集
对于R2也是
对于R3空集为任何集合子集
对于R4,有<0,1>元素,A中有0,B中有1
R 3 R 4 也是 A 上的二元关系
因为R3为空集,空集为所有集合上的空关系,A中有0,1,所以A中元素和A中元素可以组成<0,1>,R4为A×A的子集
计数 :
| A |= n , | A × A |= n 2 , A × A 的子集有个 . 所以 A 上有2^{^{n^{2}}} 个不同的二元关系
例如
| A | = 3, A 上有 =512 个不同的二元关系

A上重要关系的实例 

定义7.5 A 为集合

(1) A 上的关系,称为 空关系
(2)
全域关系 E A = {< x , y >| x A y A } = A × A
恒等关系 I A = {< x , x >| x A }
小于等于关系 L A = {< x , y >| x , y A x y }, A 为实数子集
整除关系 D B = {< x , y >| x , y B x 整除 y }, A 为非 0 整数子集
包含关系 R = {< x , y >| x , y A x y }, A 是集合族
注意:对于整除x整除y则,y/x为整数
例如

对于A={1, 2}

E A = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
I A = {<1,1>,<2,2>}
对于A = {1, 2, 3}, B ={ a , b }
L A = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
D A = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
对于A = P ( B ) = { ,{ a },{ b },{ a , b }}
A 上的包含关系是
R = {< , >,< ,{ a }>,< ,{ b }>,< ,{ a , b }>,<{ a },{ a }>, <{ a },{ a , b }>,<{ b },{ b }>,<{ b },{ a , b }>,<{ a , b },{ a , b}>}
类似的还可以定义:
大于等于关系 , 小于关系 , 大于关系 , 真包含关系等

关系矩阵

A ={ x 1 , x 2 , …, x m } B ={ y 1 , y 2 , …, y n } R 是从 A B 关系, R 的关系矩阵是布尔矩阵 M R = [ r ij ] m × n , 其中 r ij = 1 < x i , y j > R
关系图
A = { x 1 , x 2 , …, x m } R 是从 A 上的关系, R 的关系图是 G R =< A , R >, 其中 A 为结点集, R 为边集 . 如果 < x i , x j > 属于 关系 R ,在图中就有一条从 x i x j 的有向边 .
例3
A ={1,2,3,4}    A为结点
R ={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
R 的关系矩阵 M R 和关系图 G R 如下:
对于关系矩阵,R中有五个元素,每个元素第一位对应行,二位对应列
对于关系图,R中元素第一位对应起点,第二位对应终点
关系的基本运算
定义 7.6 关系的 定义域 值域 分别定义为
dom R = { x | y (< x , y > R) }        元素的第一位数字并在一起的集合
ran R = { y | x (< x , y > R) }        元素的第二位数字并在一起的集合
fld R = dom R ∪ ranR        元素的第一位和第二位数字并在一起的集合
例4 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}
dom R ={1, 2, 4}
ran R ={2, 3, 4}
fld R ={1, 2, 3, 4}

定义7.7 关系的逆运

R^{^{-1}}  = { < y , x > | < x , y > R }
定义 7.8 关系的 合成 运算
R ° S = { < x , z > | y (< x , y > R < y , z > S
简单来说,
逆运算中每位元素第一位和第二位交换位置
合成运算中,例如有A集合中有<1,2>B集合有<2,3>则得出的集合有A °B中有<1,3>
要A中的第二位与B中第一位相等,则A中第一位与B中第二位组成一个元素
例5
R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}
R^{^{-1}} = {<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
R ° S = {<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S ° R = {<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
多看几个例题便于理解

定义7.9 R为二元关系, A是集合

(1) R A 上的 限制 记作 R A , 其中 R A = { < x , y > | xRy x A }
(2) A R 下的 记作 R [ A ], 其中 R [ A ]=ran( R A )
这个比较难理解,简单来说
限制就是第一位必须为A集合的元素
像的意思是限制后的值域,即第一位为A集合的元素,然后第二位数字的并集
说明:
R A 上的限制 R A R 的子关系,即 R A R
A R 下的像 R [ A ] ran R 的子集,即 R [ A ] ran R
例6 
R ={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}
R {1} = {<1,2>,<1,3>}
R =
R {2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>}
R [{1}] = {2,3}
R [ ] =
R [{3}] = {2}
关系运算的性质

定理有点多,依据我上面的解释,自己想一下就明白了

定理7.1 F是任意的关系,

(1) F^{^{-1^{-1}}} =F
(2) domF^{^{-1}}= ran F, ranF^{^{-1}}= dom F

定理7.2 F, G, H是任意的关系,

(1) ( F ° G ) ° H = F ° ( G ° H )
(2)(F^{\circ}G)^{^{-1}}= G^{^{-1}} °F^{^{-1}}

定理7.3 RA上的关系,

R ° I A = I A ° R = R
定理 7.4
(1) F ° ( G H ) = F ° G F ° H
(2) ( G H ) ° F = G ° F H ° F
(3) F ° ( G H ) F ° G F ° H
(4) ( G H ) ° F G ° F H ° F
定理 7.4 的结论可以推广到有限多个关系
R ° ( R 1 R 2 R n ) = R ° R 1 R ° R 2 R ° R n
( R 1 R 2 R n ) ° R = R 1 ° R R 2 ° R R n ° R
R ° ( R 1 R 2 ∩ … ∩ R n ) R ° R 1 R ° R 2 ∩ … ∩ R ° R n
( R 1 R 2 ∩ … ∩ R n ) ° R R 1 ° R R 2 ° R ∩ … ∩ R n ° R
定理 7.5 F 为关系 , A , B 为集合 ,
(1) F ( A B ) = F A F B
(2) F [ A B ] = F [ A ] F [ B ]
(3) F ( A B ) = F A F B
(4) F [ A B ] F [ A ]∩ F [ B ]
定义 7.10
R A 上的关系 , n 为自然数 , R n 次幂 定义为:
(1) R^{^{0}} = { < x , x > | x A } = I A
(2) R^{^{n+1}} = R^{^{n}}° R

注意:
对于 A 上的任何关系 R 1 R 2 都有 R1^{0}=R2^{0}= I A
对于 A 上的任何关系 R 都有 R^{^{1}} = R
例7 A = {a,b,c,d}, R = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}
R 的各次幂 , 分别用矩阵和关系图表示
R与R^{^{2}}的关系矩阵分别是
R^{^{3}}R^{^{4}} 的矩阵是:
因此M^{4}=M^{^{2}}   , R^{^{4}} =R^{^{2}} . 因此可以得到
R^{^{2}}=R^{^{4}} =R^{^{6}}=…
R^{^{3}}=R^{^{5}} =R^{^{7}} =…
R^{^{0}}的关系矩阵是
R^{^{0}},R^{^{1}},R^{^{2}},R^{^{3}} ,… 的关系图如下图所示
定理 7.6 A n 元集 , R A 上的关系 , 则存在自然数 s 和  t , 使得 R^{^{s}}   R^{^{t}}
定理 7.7 R A 上的关系 , m , n N,
(1) R^{^{m}} °R^{^{n}} = R^{^{n+m}}
(2)(R^m){^n{^{}}} = R^{^{n}}
定义 7.11 R A 上的关系 ,
(1) x ( x A →< x , x > R ), 则称 R A 上是 自反
(2) x ( x A →< x , x > R ), 则称 R A 上是 反自反

定义7.12 R A上的关系,

(1) x y ( x , y A < x , y > R →< y , x > R ), 则称 R A 的关系 .
(2) x y ( x , y A < x , y > R < y , x > R x = y ), 则称 R A 上的 反对称 关系

 定义7.13 RA上的关系, xyz(x,y,zA<x,y>R<y,z>R→<x,z>R), 则称 R A上的传递关系

定理 7.8  R A 上的关系 ,
(1) R A 上自反当且仅当 I A R
(2) R A 上反自反当且仅当 R I A =
(3) R A上对称当且仅当 R= R^{^{-1}}
(4) R A 上反对称当且仅当 R R^{^{-1}}   I A
(5) R A 上传递当且仅当 R ° R R

自反:每个元素的第一位和第二位相同

反自:每个元素的第一位和第二位不相同 

对称:每个元素交换第一位和第二位,都能得到另一个元素也在这个集合

反对称:每个元素交换第一位和第二位,都能得到另一个元素也在这个集合,并且第一位等于第二位

传递:相当于A°B,即集合中两个元素的第二位和第一位相同可以得出,第一位和第二位的组合也在这个集合

<1,2><2,3>—><1,3>

定义7.14 R是非空集合A上的关系, R自反(对称传递)A上的关系R, 使得R满足以下条件:

(1) R 是自反的 ( 对称的或传递的 )
(2) R R
(3) A 上任何包含 R 的自反 ( 对称或传递 ) 关系 R ′′ R ′⊆ R ′′
R 的自反闭包记作 r ( R ), 对称闭包记作 s ( R ), 传递闭包记作 t ( R )
定理 7.9  R A 上的关系 , 则有
(1) r ( R )= R R^{^{0}}
(2) s ( R )= R R^{^{-1}}
(3) t ( R )= R R 2 R 3

结合这个定理,看定义7.14就很简单

定理7.10 R是非空集合A上的关系

(1) R 是自反的当且仅当 r ( R )= R .
(2) R 是对称的当且仅当 s ( R )= R .
(3) R 是传递的当且仅当 t ( R )= R
定理 7.11  R 1 R 2 是非空集合 A 上的关系 , R 1 R 2
(1) r ( R 1 ) r ( R 2 )
(2) s ( R 1 ) s ( R 2 )
(3) t ( R 1 ) t ( R 2 )
定理 7.12  R 是非空集合 A 上的关系
(1) R 是自反的 , s ( R ) t ( R ) 也是自反的
(2) R 是对称的 , r ( R ) t ( R ) 也是对称的
(3) R 是传递的 , r ( R ) 是传递的
 等价关系的定义与实例

定义 7.15 R 为非空集合上的关系 . 如果 R 是自反的、对称的和 传递的 , 则称 R A 上的 等价关系 . R 是一个等价关系 , < x , y > R , x 等价于 y , 记做 x y
A ={1,2,…,8}, 如下定义 A 上的关系 R
R ={< x , y >| x , y A x y (mod 3)}
其中 x y (mod 3) 叫做 x y 3 相等 , x 除以 3 的余数与 y 除以 3 的余数相等 . 不难验证 R A 上的等价关系 , 因为
(1) x A , x x (mod 3)
(2) x , y A , x y (mod 3), 则有 y x (mod 3)
(3) x , y , z A , x y (mod 3), y z (mod 3), 则有 x z (mod 3)

 

定义 7.16 R 为非空集合 A 上的等价关系 , x A ,令 [ x ] R = { y | y A xRy }
[ x ] R x 关于 R 的等价类 , 简称为 x 等价类 , 简记为 [ x ] \bar{x}
A ={1, 2, … , 8} 上模 3 等价关系的等价类:
[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}
[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}
[3] = [6] = {3, 6}
意思是用集合中一个元素代表一个集合,这样的集合都是等价的
定义 7.17 R 为非空集合 A 上的等价关系 , R 的所有等价 类作为元素的集合称为 A 关于 R 商集 , 记做 A / R, A / R = {[ x ] R | x A }
A ={1,2,…,8} A 关于模 3 等价关系 R 的商集为
A/R = {{1,4,7}, {2,5,8}, {3,6}}
A 关于恒等关系和全域关系的商集为:
A/I A = {{1}, {2}, …, {8}}
A/E A = {{1,2,…,8}}
定义 7.18 A 为非空集合 , A 的子集族 π ( π P ( A )) 满足 :
(1) ∅ ∉ π
(2) x y ( x , y π x y x y = )
(3) π = A

 则称πA的一个划分, π中的元素为A划分块

例8 A{ a, b, c, d }, 给定 π1, π2, π3, π4, π5, π6如下:
π 1 ={{ a , b , c },{ d }}
π 2 ={{ a , b }, { c }, { d }}
π 3 ={{ a }, { a , b , c , d }}
π 4 ={{ a , b }, { c }}
π 5 ={ ,{ a , b }, { c , d }}
π 6 ={{ a , { a }}, { b , c , d }}
π 1 π 2 A 的划分 , 其他都不是 A 的划分 .
对于划分,集合中的所有元素并在一起必须包含A的所有元素,并且每个元素都没有相同的元素
定义 7.19
偏序关系 :非空集合 A 上的自反、反对称和传递的关系, 记作 . 为偏序关系 , 如果 < x , y > , 则记作 x y , 读作 x 小于或等于” y

定义7.20 R 为非空集合A上的偏序关系,

(1) x , y A , x y 可比 x y y x
(2) 任取元素 x y , 可能有下述几种情况发生:
x y ( y x ), x y , x y 不是可比的
定义 7.21 R 为非空集合 A 上的偏序关系 ,
x , y A , x y 都是可比的,则称 R 全序 (或线序)
定义 7.22 x , y A , 如果 x y 且不存在 z A 使得 x z y , 则称 y 覆盖 x
类似不满足传递性

定义7.23 集合AA上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作<A,>.

哈斯图:
利用偏序关系的自反、反对称、传递性进行简化的 关系图
与偏序关系区分
特点:
(1) 每个结点没有环
(2) 两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表 示,位置低的元素的顺序在前
(3) 具有覆盖关系的两个结点之间连边 区分
例9 偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, R整除><P({a,b,c}),R>哈斯图

 

定义 7.24 < A , > 为偏序集 , B A , y B
(1) x ( x B y x ) 成立 , 则称 y B 最小元
(2) x ( x B x y ) 成立 , 则称 y B 最大元
(3) x ( x B x y x = y ) 成立 , 则称 y B 极小元
(4) x ( x B y x x = y ) 成立 , 则称 y B 极大元

性质:

(1) 对于有穷集,极小元和极大元一定存在,可能存在多个
(2) 最小元和最大元不一定存在,如果存在一定唯一
(3) 最小元一定是极小元,最大元一定是极大元
(4) 孤立结点既是极小元,也是极大元
定义 7.25 < A , > 为偏序集 , B A , y A
(1) x ( x B x y ) 成立 , 则称 y B 上界
(2) x ( x B y x ) 成立 , 则称 y B 下界
(3) C { y | y B 的上界 }, C 的最小元为 B 最小上界 上确界
(4) D { y | y B 的下界 }, D 的最大元为 B 最大下界 下确界
性质:
(1) 下界、上界、下确界、上确界不一定存在
(2) 下界、上界存在不一定惟一
(3) 下确界、上确界如果存在,则惟一
(4) 集合的最小元是其下确界,最大元是其上确界;反之不对
10 A={1,2,…,12},≼w为整除关系,B={x|x∈A∧2≤x≤4}在偏序集<A,≼>中求B的上界、下界、最小上界和最大下界

上界和最小上界是12

因为B={2,3,4}

上界为无论x是多少都有x整除y的元素

12/2

12/3

12/4

都为整数

下界和最大下界是1

下界为无论x是多少都有y整除x的元素

2/1

3/1

4/1

都为整数

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