UKF算法的实现

我们知道，我们可以使用状态方程和观测方程来对系统进行描述，那么一个非线性系统可以用以下的方程进行描述：
$\left\{\begin{array}{l}X\left(k+1\right)=f\left(x\left(k\right),V\left(k\right)\right)\\ Z\left(k\right)=h\left(x\left(k\right),W\left(k\right)\right)\end{array}\right.$
其中的

$f$ 为非线性状态方程函数
$V (k)$ 为过程噪声，其协方差矩阵为Q
$h$ 为非线性观测方程函数
$W (k)$ 为量测噪声，协方差矩阵为R

在描述完非线性系统后，对不同时刻的数据进行滤波，步骤如下：

1、首先获得一组Sigma点集（采样点集）与权值，计算如下式：

详细介绍请见：
UKF在目标跟踪中的应用（一）
也即：
$X^{(i)}(k|k)=[\hat{X}(k|k)\quad\hat{X}(k|k)+\sqrt{(n+\lambda)P(k|k)}\quad\hat{X}(k|k)-\sqrt{(n+\lambda)P(k|k)}]$
2、然后计算2n+1个Sigma点的一步预测值,i=1，2……2n+1；
$X^{(i)}(k+1|k)=f[k,X^{(i)}(k|k)]$
3、计算系统状态量和协方差矩阵的一步预测值

$\hat{X}(k+1|k)=\sum_{i=0}^{2n}\omega^{(i)}X^{(i)}(k+1|k)$
$P(k+1|k)=\sum\limits_{k=0}^{2n}\omega^{(k)}[\hat{X}(k+1|k)-X^{(k)}(k+1|k)][\hat{X}(k+1|k)-X^{(n)}(k+1|k)]^T+Q$

此处就与Kalman明显不同：
在Kalman滤波中，只需将上一时刻的值带入状态方程计算一次即可得到预测值，UKF是将一组采样点值进行预测，然后加权，得到状态的预测值

4、再根据一步预测值，使用UT变换，产生新的Sigma点集，
$X^{(i)}(k+1|k)=[\hat{X}(k+1|k) \quad \hat{X}(k+1|k)+\sqrt{(n+\lambda)P(k+1|k)} \quad \hat{X}(k+1|k)-\sqrt{(n+\lambda)P(k+1|k)}]$
5、将步骤4中新产生的Sigma点集带入观测方程，得到观测的预测值，i=1，2，……2n+1；
$Z^{(i)}\left(k+1|k\right)=h[X^{(i)}(k+1|k)]$
6、通过步骤5中得到的Sigma点集的观测预测值，加权求和得到系统预测的均值和方差，
$\overline{Z}(k+1|k)=\sum\limits_{i=0}^{2n}\omega^{(i)}{Z}^{(i)}(k+1|k)$
$P_{z_kz_k}=\sum\limits_{i=0}^{2n}\omega^{(i)}[Z^{(i)}(k+1|k)-\overline{Z}(k+1|k)][Z^{(i)}(k+1|k)-\overline{Z}(k+1|k)]^{\mathrm{T}}+R$
$P_{x_k z_k}=\sum\limits_{i=0}^{2\pi}\omega^{(i)}[X^{(i)}(k+1|k)-\overline{Z}(k+1|k)][Z^{(i)}(k+1|k)-\overline{Z}(k+1|k)]^T$
7、计算滤波增益K
$K(k+1)=P_{x_k z_k}P_{z_k z_k}^{-1}$
8、状态更新、协方差更新：
$\hat{X}\left(k+1|k+1\right)=\hat{X}\left(k+1|k\right)+K\left(k+1\right)\left[Z\left(k+1\right)-\hat{Z}\left(k+1|k\right)\right]$
$P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-K(k+1)P_{z_kz_k}K^{\intercal}(k+1)$