算法:
动规五部曲:
1.确定dp[i]及i
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]
2.确定递推公式:
思路:dp[i]最大乘积是怎么得到的?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义。
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的
所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j})
3.确定dp初始化
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?
这是无解的。
因此,这里只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
4.确定遍历顺序
递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。
5.举例推导dp数组
正确代码:
class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i =3 ;i<=n; i++){for(int j=1; j<=i-j; j++){ //这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));}}return dp[n];}
}
注意:
1. j 的最大值为 i-j
2.Math.max只能比较两个值,若要连续比价三个值,则:
Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
时间空间复杂度:
- 时间复杂度:O(n^2)
- 空间复杂度:O(n)
其实本题也可以用贪心:
每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性!
class Solution {public int integerBreak(int n) {if (n == 2) return 1;if (n == 3) return 2;if (n == 4) return 4;int result = 1;while (n > 4) {result *= 3;n -= 3;}result *= n;return result;}
}
时间空间复杂度
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1