圆的分割

“数学证明问题：圆上点连线分割区域总数的倍增推理”

既然我已经谈到了数学证明的本质，现在让我们回到本系列开始时的问题。圆上有n个点，我们用直线将这些点两两连结起来，希望能够表明这些直线所分割出的区域总数是$2^{n-1}$。对于n为1，2,3，4或5的情形，我们已经看出这是对的。为了一般性地证明这个陈述，我们很想找到一种令人信服的推理，能够说明圆上每增加一点，区域总数就增加一倍。这样的推理会是什么样的呢？

“观察分割圆形图形的模式：探索区域数量的规律”

脑子里无法立刻蹦出些什么来，那么我们可以从观察被分割的圆的图形来着手，看看能否从中发现某种模式并提炼概括。例如，圆上有三个点，就产生了三个外围区域和一个中心区域。圆上有四个点，就有四个外围区域和四个中心区域。圆上有五个点，就有一个中心五边形，五个三角形从中心指向外围，五个三角形嵌入这个五角星之中，于是又形成一个五边形，最后还有五个外围区域。因此，我们可以把4看作3+1，把8看作4+4，把16看作5+5+5+1。
这能起到什么作用吗？我们似乎还没能掌握足够多的例子，看出清楚的模式，所以让我们再来画出圆上有六个点的情形。下图显示了这种情况。这一回外围有六块区域。每一块都与一个指向中心的三角形相邻。这样的区域两两之间，各夹着两个小三角形区域，至此共有6+6+12=24块区域，还需要继续数位于中心的六边形内包含的区域。里面分成了三个五边形，三个四边形，还有一个中心三角形。所以看起来很自然地，区域总数是6+6+12+3+3+1。

“揭开分割圆形图形区域数量的谜团：超越翻倍规律的思考”

可是好像出了点什么错，因为结果是31。我们哪里疏忽了吗？事实上并没有：正确的序列开头几项是1，2，4，8,16,31,57，99，163。其实只要稍加深入思考，我们就能看出，区域总数不可能每次都翻倍。在刚开始时就有点麻烦，圆上0个点得到的区域总数是1而不是1/2，所以加上第一个点的时候区域总数就不是翻倍。尽管这种例外情形时常发生在0上，大多数数学家还是会认为这是个麻烦。但是，当n是个比较大的数时问题会更加严重，这时$2^{n-1}$显然会特别大。比如当n=20时$2^{n-1}$是524 288，当n=30时，结果是536 870 912。在圆上画30个点就会把圆分割成超过5亿个不同区域，这可能么？当然不可能。想象一下，在地上画一个大圆，在圆上打30个间隔不一的桩子，用很细的线把桩子两两相连。结果得到的区域数量确实比较大，但也不会大到难以想象的程度。如果圆的直径是10米，把它分成5亿块，平均每平方厘米里就会有超过600块区域。这个圆一定密密麻麻布满了线，但周围只有30个点，实际情况显然不是这样的。

“挑战直觉，揭示数学陈述的深层思考：从分割圆形到证明的重要教训”

我前面说过，数学家对待“显然”这样的词非常慎重。但在这个例子中，我们的直觉能够以坚实的论证来支持，归结如下。如果圆被分割成数量巨大的多边形区域，这些区域之间必然有大量的顶角。每个顶角处都是两条线的交点，和这个交点相联系的桩子，也就是两条线在圆上的端点有4个。我们在圆上选取这样的4个桩子，第一个桩子有30种可能的选择，第二个有29种，第三个有28种，第四个有27种。这意味着，选取4个桩子的方式共有30x29×28×27=657 720种，但是这样就没有考虑到，如果以不同的顺序选取了同一组桩子，就重复列入了相同的交点。选出同一组4个桩子共有4x3x2x1=24种不同方式,考虑到这一点,我们就能够算出交点总数是657 720/24=27 405个，根本不可能像536 870 912块区域的角的数量那样巨大。（实际上，30个点分割出的区域的真正数量是27 841。）
在这个让我们引以戒的故事中，包含了很多证明与证明数学陈述相关的重要教训。最明显的一个就是，如果不去小心地证明你所说的话，那你就有说错的危险。一个更积极一点的寓意是，如果确实努力去证明一个陈述，那你将能以全然不同而且更有意思的方式理解它。

总结

通过观察和推理圆的分割图形，我们探索了连接圆上点的直线所分割出的区域总数的规律。我们最初试图以翻倍的方式推断区域数量的增长，但在实际计算中发现了一个例外情况。进一步思考后，我们发现了交点的数量是一个更准确的指标。通过计算不同桩子组合的方式，我们得出了交点总数与区域数量的关系。这个关系揭示了区域数量不可能像直觉所认为的那样翻倍增长，而是与桩子组合的方式和交点数目相关。这个认识让我们警醒地意识到在数学证明中，我们需要小心论证，不能只凭直觉。通过深入思考和严谨证明，我们能够更好地理解数学陈述并发现其中更深层次的思考。这个故事提醒我们在证明数学陈述时的重要教训，同时也展示了数学的美妙之处。