前言

本篇主要内容包括：贪心算法、加权边 API、Kruskal 算法 以及 Prim 算法。

参考目录

• B站 普林斯顿大学《Algorithms》视频课
  （请自行搜索。主要以该视频课顺序来进行笔记整理，课程讲述的教授本人是该书原版作者之一 Robert Sedgewick。）
• 微信读书《算法（第4版）》
  （本文主要内容来自《4.3 最小生成树》）
• 官方网站
  （有书本配套的内容以及代码）

学习笔记

注1：下面引用内容如无注明出处，均是书中摘录。
注2：所有 demo 演示均为视频 PPT demo 截图。
注3：如果 PPT 截图中没有翻译，会在下面进行汉化翻译，因为内容比较多，本文不再一一说明。

开篇语：

Today, we’re gonna talk about minimum spanning trees. This is a terrific topic for this course, because it combines a number of classic algorithms with modern data structures to solve a variety of huge problems that are important in practical applications nowadays.

今天，我们要讨论的是最小生成树这一主题，这对于本课程而言是一个绝佳的话题，因为它结合了多种经典算法以及现代数据结构，用于解决当今实际应用中一系列规模庞大且重要的问题。

1：介绍

1.1：定义

定义： 一个图 G 的生成树 T 是指这样一个子图：

• 连通的（Connected）：从任一顶点出发可以到达其他所有顶点。
• 无环的（Acyclic）：不存在任何闭合的回路。
• 包含所有顶点（Includes all of the vertices）：图 G 中的每一个顶点都在生成树 T 中。

1.2：应用

最小生成树（MST）问题是具有广泛实际应用的基础问题，包括但不限于以下几个方面：

• 颗粒化（Dithering）技术。
• 聚类分析（Cluster analysis）。
• 最大瓶颈路径（Max bottleneck paths）问题求解。
• 实时人脸识别验证（Real-time face verification）算法。
• 采用低密度奇偶校验码（LDPC codes）进行错误校正。
• 利用 Rényi 熵进行图像配准（Image registration）。
• 在卫星和航空影像中寻找道路网络（Find road networks）。
• 在蛋白质氨基酸序列测定中减少数据存储量。
• 模拟湍流流体中粒子相互作用的局部性（Model locality of particle interactions in turbulent fluid flows）。
• 以太网桥接自配置协议（Autoconfig protocol）避免网络中形成环路。
• 近似算法用于解决NP难问题（例如，旅行商问题[TSP]，Steiner树问题）。
• 各种网络设计（包括通信网络、电力网络、液压网络、计算机网络、道路交通网络等）。

2：贪心算法 greedy algorithm

2.1：简化假设

2.2：切分定理

（这一部分参照书里面的内容）

2.3：demo 演示

对应书本命题 K：

初始状态：

切分后：

边 0 - 2 标记为黑色，继续切分：

边 5 - 7 标记为黑色，继续切分：

边 6 - 2 标记为黑色，继续切分：

边 0 - 7 标记为黑色，继续切分：

边 2 - 3 标记为黑色，继续切分：

边 1 - 7 标记为黑色，继续切分：

边 4 - 5 标记为黑色：

此时图中 8 个顶点，找到了最小权重的 7 条横切边，这就是 MST。

2.4：贪心算法的证明

对应书本命题 K 证明：

2.5：算法实现简要说明

2.6：删除简化假设

3：加权边 API

3.1：加权边 API （Weighted edge API）

3.2：Java 实现

edu.princeton.cs.algs4.Edge

3.3：加权无向图的API（Edge-weighted graph API）

3.4：Java 实现

edu.princeton.cs.algs4.EdgeWeightedGraph

edu.princeton.cs.algs4.EdgeWeightedGraph#addEdge

edu.princeton.cs.algs4.EdgeWeightedGraph#adj

4：Kruskal 算法

4.1：demo 演示

按权重递增顺序考虑边。

• 如果添加下一条边不会形成环，则将其加入树 T 中。

初始状态：

过程比较长，直接引用 官网的图 进行说明：

最终产生的 MST：

4.2：证明

对应书本命题 O 的证明：

4.3：Java 实现

edu.princeton.cs.algs4.KruskalMST

4.4：运行时间

对应书本命题 N：

5：Prim 算法

5.1：demo 演示

• 从顶点 0 开始，并贪婪地构建树 T。
• 将恰好有一个端点在树 T 中的最小权重边添加到 T 中。
• 重复此过程，直到添加了 V-1 条边为止。

初始状态：

首先找到最短（权重最小）横切边 0 - 7 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 1 - 7 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 0 - 2 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 2 - 3 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 5 - 7 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 4 - 5 加入 MST：

继续寻找连接 MST 的最短边 6 - 2 加入 MST：

最终结果：

5.2：证明

命题： [Jarník 1930, Dijkstra 1957, Prim 1959]
Prim 算法可以计算最小生成树（MST）。

证明： Prim 算法是 MST 贪心算法的一个特例。

• 假设边 e 为连接树上顶点与非树顶点的具有最小权重的边。
• 切割集（切分，Cut）由树上连接的所有顶点组成。
• 没有跨越边（横切边）被标记为黑色。
• 没有跨越边（横切边）的权重更低。

对应书本命题 L 的证明：

5.3：实现：延迟实现 （lazy implementation）

**挑战：**找到仅有一端属于集合 T 的最小权重边。

**延迟解决方案：**维持一个优先队列（PriorityQueue），其中包含至少一端点属于集合 T 的边。

• 使用键值对存储边，其中键是边本身，值是边的权重。
• 通过调用优先队列的删除最小元素函数找到下一条要添加到集合 T 中的边 e（记作 v - w）。
• 若边 e 的两个端点 v 和 w 都已被标记为在 T 中，则跳过这条边不处理。
• 否则，假设 w 未被标记（不在 T 中）：
  • 将所有连接 w 且另一端点目前不在 T 中的边加入到优先队列中；
  • 将边 e 加入到集合 T 中，并标记顶点 w 为已在 T 中。

5.3.1：demo 演示

初始状态：

从顶点 0 开始，所有与之相关的边加入到优先队列 PQ，并按照权重排序：

删除 PQ 中最小值边 0 - 7，加入到 MST：

将顶点 7 相关的边加入到优先队列 PQ，并按照权重排序：

删除 PQ 中最小值边 1 - 7，加入到 MST：

将顶点 1 相关的边加入到优先队列 PQ，并按照权重排序：

删除 PQ 中最小值边 0 - 2，加入到 MST：

将顶点 2 相关的边加入到优先队列 PQ（边 1 - 2、2 - 7 已经过时，不需要添加），并按照权重排序：

删除 PQ 中最小值边 2 - 3，加入到 MST：

将顶点 3 相关的边加入到优先队列 PQ（边 1 - 3 已经过时，不需要添加），并按照权重排序：

删除 PQ 中最小值边 5 - 7，加入到 MST：

将顶点 5 相关的边加入到优先队列 PQ（边 1 - 5 已经过时，不需要添加），并按照权重排序：

删除 PQ 中过时的边 1 - 3、1 - 5、2 - 7。

删除 PQ 中最小值边 4 - 5，加入到 MST：

将顶点 4 相关的边加入到优先队列 PQ（边 4 - 7、0 - 4 已经过时，不需要添加），并按照权重排序：

删除 PQ 中过时的边 1 - 2、4 - 7、0 - 4。

删除 PQ 中最小值边 6 - 2，加入到 MST：

此时对于 V 个顶点已经有 V-1 条边，可以停止。

5.3.2：Java 实现

edu.princeton.cs.algs4.LazyPrimMST

edu.princeton.cs.algs4.LazyPrimMST#scan

5.3.3：运行时间

对应书本命题 M：

5.4：实现：即时实现（eager implementation）

**挑战：**找到与树 T 有且仅有一个端点相连的最小权重边。

**即时解决方案：**维护一个优先队列（其中每个顶点最多有一个条目），包含通过边与树 T 相连接的所有顶点，顶点 v 的优先级等于连接 v到 T 的最短边的权重。

• 从优先队列中删除具有最小优先级的顶点 v，并将其关联的边 e = v - w 添加到 T 中。
• 考虑所有与顶点 v 相连的边 e = v - x。
  • 如果 x 已经位于树 T 中，则忽略这条边。
  • 如果 x 尚未加入优先队列，则将 x 添加到优先队列中。
  • 如果经过边 v - x 后，x 到 T 的最短边距离变小，则更新 x 在优先队列中的优先级。

5.4.1：demo 演示

初始状态：

从顶点 0 开始，所有与之相邻的顶点 7、2、4、6 加入到优先队列 PQ，并按照权重排序：

边 0 - 7 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 7，与之相邻的顶点 1、5 加入 PQ（顶点 2、4 已经在 PQ 中），并按照权重排序：

边 1 - 7 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 1，与之相邻的顶点 3 加入 PQ（顶点 5、7 已经在 PQ 中），并按照权重排序：

边 0 - 2 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 2，与之相邻的顶点 3、6 权重变小，更新权重后重新排序：

边 2 - 3 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 3，与之相邻的顶点 6 已经在 PQ 中，无需做任何操作：

边 5 - 7 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 5，与之相邻的顶点 4 权重变小，更新权重后重新排序：

边 4 - 5 权重最小，加入 MST：

继续检查顶点 4，与之相邻的顶点 6 已经在 PQ 中，无需做任何操作：

最后一条边 6 - 2，加入 MST：

最终结果：

5.4.2：索引优先队列（Indexed priority queue）

为优先队列中的每个键关联一个介于 0 和 N - 1 之间的索引。

• 支持插入（insert）操作，即可以将带有特定索引的键值插入队列中。
• 支持删除最小元素（delete-the-minimum）操作，即能够移除并返回当前优先队列中优先级最高的元素。
• 支持基于索引的减小键值（decrease-key）操作，给定键的索引时，允许修改该键对应的值，使其优先级降低。

edu.princeton.cs.algs4.IndexMinPQ

5.4.3：运行时间

核心要点：

• 采用数组实现对稠密图（Dense graphs）而言是最佳方案。
• 对于稀疏图（Sparse graphs），二叉堆在性能上要快得多。
• 在对性能要求极高的情况下，使用四路堆（4-way heap）是值得投入精力提升性能的。
• 斐波那契堆在理论上的优越性虽高，但在实际开发中却未必值得进行具体实现。

（完）