离散系统描述模型及其转换-编程知识

离散系统描述模型及其转换

$\textbf{常用离散模型}$

系统传递函数模型 $\bf{tf}$

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{b_0+b_1z^{-1}+...+b_Mz^{-M}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+...+a_Nz^{-N}}$

零-极点增益模型 $\bf{zpk}$

对系统传递函数进行分解得到：
$H(z)=k\frac{(z-q_1)(z-q_2)...(z-q_M)}{(z-p_1)(z-p_2)...(z-p_N)}$

极点留数模型 $\bf{rpk}$

当zpk中模型均是单极点时：

$H(z)=\frac{r_1}{1-p_1z^{-1}}+\frac{r_2}{1-p_2z^{-1}}+...+\frac{r_N}{1-p_Nz^{-1}}+k_0$

二次分式模型 $\bf{sos}$

离散系统中经常包含复数的极零点，将每一对共轭极零点多项式合并：
$H(z)=g\prod\limits_{k=1}^l\frac{b_{0k}+b_{1k}z^{-1}+b_{2k}z^{-2}}{1+a_{1k}z^{-1}+a_{2k}z^{-2}}$

状态变量模型 $\bf{ss}$

系统状态方程：
$\begin{cases} W(n+1)=AW(n)+X(n)\\ Y(n ) =CW(n)+DX(n)\end{cases}$

表示为传递函数：
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=C\frac{W(z)}{X(z)}+D=C(zI-A)^{-1}B+D$

例题

tf模型和zpk模型之间的转换
tf2zp()

对于 $H(z)=\frac{10z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$ ,求解零点向量z,极点向量p和增益系数k

%使用tf2zp();b = [0 10 0];
a = [1 -3 2];[z,p,k] = tf2zp(b,a);
disp('z=');disp(z);
disp('p=');disp(p);
disp('k=');disp(k);

得到结果：

可得： $H(z)=10\frac{(z-0)}{(z-2)(z-1)}$

zpk模型和tf模型之间的转换
zp2tf()

对于 $H(z)=5\frac{(z-1)(z+3)}{(z-2)(z+4)}$ ,求传递函数模型

%使用zp2tf();
clear;
z = [1 -3]';
p = [2 -4]';
k = 5;[b,a] = zp2tf(z,p,k);disp('b=');disp(b);
disp('a=');disp(a);

得到结果：

可得： $H(z)=\frac{5+10z^{-1}-15z^{-2}}{1+2z^{-1}-8z^{-2}}$

tf模型和 sos模型之间的转换
tf2sos()

将 $H(z)=\frac{1.9+2.5z^{-1}+2.5z^{-2}+1.9z^{-3}}{1-6z^{-1}+5z^{-2}-0.4z^{-3}}$ 转化为二次分式形式

% 使用tf2sos
clear;
b = [1.9 2.5 2.5 1.9];
a = [1 -6 5 -0.4];[sos,g] = tf2sos(b,a);disp('sos=');disp(sos);
disp('g=');disp(g);

可得： $H(z)=1.9·\frac{1+z^{-1}}{1-5.0198z^{-1}}·\frac{1+0.3158z^{-1}+z^{-2}}{1-0.9802z^{-1}+0.0797z^{-2}}$

sos模型和 tf模型之间的转换
sos2tf()

将 $H(z)=4·\frac{1+z^{-1}}{1-0.5z^{-1}}·\frac{1-1.4z^{-1}+1}{1+0.9z^{-1}+0.8z^{-2}}$ 转化为tf模型

% 使用sos2tf()
clear;
sos = [1    1 0  1 -0.5   0;1 -1.4 1  1  0.9 0.8];
g = 4;[b,a] = sos2tf(sos,g);disp('b=');disp(b);
disp('a=');disp(a);

可得： $H(z)=\frac{4-1.6z^{-1}-1.6z^{-2}+4z^{-3}}{1+0.4z^{-1}+0.35z^{-2}-0.4z^{-3}}$

zpk模型与sos模型之间的转换
zp2sos()

将 $H(z)=5\frac{(z-1)(z+3)}{(z-2)(z+4)}$ 转化为二次分式模型

clear;z = [1 -3]';
p = [2 -4]';
k = 5;[sos,g]=zp2sos(z,p,k);
disp('sos=');disp(sos);
disp('g=');disp(g);

可得： $H(z)=5·\frac{1+2z^{-1}-3z^{-2}}{1+2z^{-1}-8z^{-2}}$

sos模型与zpk模型之间的转换
sos2zp()

将 $H(z)=1.9·\frac{1+z^{-1}}{1-5.0198z^{-1}}·\frac{1+0.3158z^{-1}+z^{-2}}{1-0.9802z^{-1}+0.0797z^{-2}}$ 转化为零-极点增益模型

% 使用sos2zp()
clear;sos = [1 1      0 1 -5.0198 0;1 0.3158 1 1 -0.9802 0.0797];
g = 1.9;[z,p,k] = sos2zp(sos,g);
disp('z=');disp(z);
disp('p=');disp(p);
disp('k=');disp(k);

可得： $H(z)=1.9·\frac{z+1}{z-5.0198}·\frac{z+0.1579-0.9875i}{z-0.8907}·\frac{z-0.1579+0.9875i}{z-0.0895}$

tf模型与rpk模型之间的转换
residuez()

将 $H(z)=\frac{10z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$ 转化为极点留数模型

% 使用residuez()
clear;
b = [0 10 0];
a = [1 -3 2];[r,p,k] = residuez(b,a);disp('r=');disp(r);
disp('p=');disp(p);
disp('k=');disp(k);

可得： $H(z)=\frac{10}{1-2z^{-1}}+\frac{-10}{1-z^{-1}}$

rpk模型与tf模型之间的转换
residuez()

将 $H(z)=\frac{2}{1-z^{-1}}-\frac{1}{1-0.5z^{-1}}+\frac{1}{1+0.5z^{-1}}$ 转化为极点留数模型

% 使用residuez()
clear;
r = [2 -1 1]';
p = [1 0.5 -0.5];
k = 0;[b,a] = residuez(r,p,k);
disp('b=');disp(b);
disp('a=');disp(a);

可得： $H(z)=\frac{2-z^{-1}+0.5z^{-2}}{1-z^{-1}-0.25z^{-2}+0.25z^{-3}}$

tf模型与ss模型之间的转换
tf2ss()

将 $H(z)=\frac{1.9+2.5z^{-1}+2.5z^{-2}+1.9z^{-3}}{1-6z^{-1}+5z^{-2}-0.4z^{-3}}$ 转化为状态变量模型

clear;b = [1.9 2.5 2.5 1.9];
a = [1 -6 5 -0.4];[A,B,C,D] = tf2ss(b,a);
disp('A=');disp(A);
disp('B=');disp(B);
disp('C=');disp(C);
disp('D=');disp(D);