96.不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入： n = 3
输出： 5

示例 2：

输入： n = 1
输出： 1

提示：

• $1\le n\le 19$

解法一(动态规划)

思路分析：

1. 对于求不同的二叉搜索树问题，可以发现，当n = 4时，二叉搜索树一共有4个节点，那么，这四个节点可以轮流为根节点，并在左右子树分别进行二叉搜索树。即左子树可能有0个，1个，2个，3个节点，而右子树也有0个，1个，2个，3个节点。
2. 如此，对于n = 4时，求不同二叉搜索树的问题，进一步分化为，求3个节点的不同二叉搜索树，2个节点的不同二叉搜索树，1个节点的不同二叉搜索树，0个节点的不同二叉搜索树。
3. 根据上面的分析，问题分解为多个子问题，考虑使用动态规划算法；即动规五步曲：
   1. 定义状态：即dp[i]表示，由i个节点可以组成dp[i]个不同的二叉搜索树
   2. 确定状态转移方程：即dp[i] = dp[0] * dp[i-1] + dp[1] * dp[i-2] + ... + dp[i-1] * dp[0]；进一步可以表示为：dp[i] = dp[j] * dp[i-j-1]，其中j在区间[0, i)中
   3. 确定初始状态：即dp[0] = 1; dp[1] = 1，因为由0或1个节点都只可以组成1个不同的二叉搜索树
   4. 确定dp遍历顺序：即从i = 2开始往后遍历，因为dp[0]和dp[1]已经确定；同时得到dp[i]的状态需要依赖i之前的状态
   5. 打印dp数组，检验是否符合思路和题意

实现代码如下：

class Solution {public int numTrees(int n) {// dp[i]的含义：由i个连续整数节点可以组成dp[i]种不同的二叉搜索树int[] dp = new int[n+1];	// 状态转移方程为：dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]// 初始化dpdp[0] = 1;	// 空树 也算是一种组成的二叉搜索树dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i) {for (int j = 0; j < i; ++ j) {dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1];}}return dp[n];}
}

提交结果如下：

解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:39.2 MB,击败了91.72% 的Java用户

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$