生日问题
我的小学同班同学小琦，和我是同一天生日。每次聚会，我俩同时在场时，我们都会向其他人提起这一点。我们觉得这是很幸运的。
这个概率大吗？要回答这样的问题，需要把几个问题区分清楚。
- 问题1：对于特定的某个同学，他与我生日相同的概率是多少？这个概率是1/365，并不大。
- 问题2：某班有𝑆个学生，有人与我生日相同的概率是多少？这个概率大约是(𝑆-1)/365，并不小。
- 问题3：某班有𝑆个学生，至少两个学生生日相同（月和日相同）的概率是多少？
问题3是概率中的生日问题（Birthday Problem）。首先，计算没有人生日相同的概率。为了表达式的含义更明确，用𝐴表示一年的天数365。所有人生日不同的概率为：
P = A ( A − 1 ) ( A − 1 ) . . . ( A − S + 1 ) A S . P = \frac {A(A-1)(A-1) ... (A-S+1)} {A^S}. P=ASA(A−1)(A−1)...(A−S+1).
至少有两人生日相同的概率为1−𝑃。下图绘制了至少两人生日相同的概率（纵坐标）与人数（横坐标）的关系。如果班里有23人，至少有两人生日相同的概率>50%；如果有57人，概率>99%。
如果要和人打赌一个班有没有相同生日的人，只要人数不少于23人，就可以赌有，获胜的概率超过一半。
还有另一个问题。令𝑋表示班里生日相同的对数。𝑋的期望是多少？
E ( X ) = S ( S − 1 ) 2 1 A . E(X) = \frac {S(S-1)} 2 \frac 1 A. E(X)=2S(S−1)A1.
生物特征识别也有生日问题。在生物特征系统中，一个人被编码为其的生物特征，例如人像、指纹、虹膜。如果生物特征识别算法认为两个人的生物特征重了，就是发生了错误匹配（False Match）。任意一对生物特征的错误匹配概率（FMR，False Match Rate），类似任意两个人的生日相同概率（1/A）。只要有两个人的生物特征重了，就叫做发生冲突。假设整个系统一共有𝑆人，识别算法的FMR需要多小，才能使冲突概率约为1/2？
不冲突的概率为：
( 1 − F M R ) S ( S − 1 ) 2 = 0.5 (1-FMR)^{\frac {S(S-1)} 2} = 0.5 (1−FMR)2S(S−1)=0.5
得出：
F M R = 1 − 0. 5 2 S ( S − 1 ) FMR = 1-0.5^ {\frac 2 {S(S-1)}} FMR=1−0.5S(S−1)2
下图绘制了FMR和𝑆的关系，由于两个数字的范围都太大，用对数坐标。从中看出，有1亿人时，冲突概率1/2对应的FMR为 1 0 − 16 10^{-16} 10−16。
生物特征冲突在大规模身份识别系统中容易出现。因此，大规模身份识别系统对于FMR要求非常高。例如，印度曾经没有全民的身份证，有人根本没有身份，而有人有多重身份，这会带来很多社会问题。后来印度实施了Aadhaar项目，要给每个印度人一个唯一的身份证。印度有14亿多人口，为了保证尽可能低的FMR（因此尽可能低的冲突概率），采集了每个人的人像、十指指纹和一对虹膜。
每当有人来申请身份证，要在所有已经发证的数据库中，进行生物特征查重。当所有人的身份证都办完的时候，14亿人之间就全部做过比对了。一共是 2 × 1 0 18 2 \times 10^{18} 2×1018，200亿亿次比对。这就要求FMR要非常低。
为了降低FMR，Aadhaar项目融合了三种生物特征。实验表明，指纹加虹膜的效果特别有效。在一个大规模的测试库上，融合后的错误率显著下降。
参考文献
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A.K. Jain. http://biometrics.cse.msu.edu/Presentations/MBZUAI_Sept_1_2020.pdf
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Daugman, John. “Collision avoidance on national and global scales: Understanding and using big biometric entropy.” TechRxiv (2021).
