射影几何基础

2D

2D点

欧氏空间中的笛卡尔坐标，缩放、旋转和仿射变换能表示成矩阵运算（线性） ； 但平移变换和透视投影不能表示成矩阵相乘。所以为了解决这个问题引入齐次坐标，其中齐次坐标有如下特性：

• 所有2D/3D几何变换可表示成矩阵运算/线性变换 $X^{\prime }=HX$
• 可以表示无穷远点

	笛卡尔坐标系	齐次坐标系
2D	$(\frac{x}{w},\frac{y}{w})$	$(x,y,w)$
3D	$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$	$(x,y,z,w)$

射影几何用于 3D世界到2D图像之间的映射

射影空间$I{P}^n$：欧氏空间$I{R}^n$的扩展

齐次坐标 $[x_1,x_2,\dots ,x_n,x_{n+1}]$

无穷远点$x_{n+1}=0$、无穷远直线、无穷远平面

当$x_{n+1}=0$，我们成该点为无穷远点（Infinity）， 或理想点(Idea Point)

射影空间之间的映射为共线性映射，即保持共线 性（共线的点经过射影映射后还共线）。

从$I{P}^m$到$I{P}^n$的共线映射为$X^{\prime }=HX$，其中$H$为$(n+1)\times (m+1)$的矩阵

其中2D欧氏坐标$I{R}^2$的点的笛卡尔坐标为$(x,y{)}^{\mathrm{T}}$ 2D射影空间$I{P}^2$的点的齐次坐标为$x=(x,y,w{)}^{\mathrm{T}}$, 对应$I{R}^2$的点 $(x/w,y/w{)}^{\mathrm{T}}$

可知道在笛卡尔坐标系中(2,1)的点在摄影空间为(2,1,1)

易知在笛卡尔坐标系中直线方程为$Ax+By+C=0$

在笛卡尔空间中两条平行线是不可以相交的，但是在射影空间中两条平行线是可以相交的，如火车的铁轨

易知在笛卡尔坐标系中两平行线的交点方程为
$$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ Ax+By+D=0\end{array}$$
可知此方程无解，因为当且仅当C=D时方程组成立，但是此两条直线重合

但在射影空间中
$$\{\begin{array}{l}A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+C=0\\ A\frac{x}{w}+B\frac{y}{w}+D=0\end{array}$$
即
$$\{\begin{array}{l}Ax+By+Cw=0\\ Ax+By+Dw=0\end{array}$$
所以可知当w=0时，两平行线相交

欧氏空间中的平行线不会相交，但我们可以在齐次坐标下(射影空间)计算其叉乘，得到第3个元素为0，即无穷远点一般形式：给定两条平行线$l_1=[ab{c}_1{]}^{\mathrm{T}},l_2=[ab{c}_2{]}^{\mathrm{T}}$​

则交点为
$$l_1\times l_2=\left[\begin{array}{c}b{c}_2-c_{1}b\\ c_{1}a-a{c}_2\\ ab-ba\end{array}\right]=(c_2-c_1)\left[\begin{array}{c}b\\ -a\\ 0\end{array}\right]$$

2D直线

2D射影空间IP²的直线也用3维齐次坐标表示为$l=(a,b,c{)}^{\mathrm{T}}$

点$x=(x,y,1{)}^{\mathrm{T}}$在直线$l$上：点到直线的距离为0，可得
$$\begin{array}{rl}ax+by+c& =0\\ \left[\begin{array}{c}a,b,c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]& =0\\ l^{T}x=x^{T}l& =0\end{array}$$
易知给定两点$x_1,x_2$，可得经过这两点的一条直线$l=x_1\times x_2$
$$\begin{array}{rl}l& =x_1\times x_2\\ & =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_{1,1}& x_{1,2}& x_{1,3}\\ x_{2,1}& x_{2,2}& x_{2,3}\end{array}\right|\\ & =(x_{1,2}{x}_{2,3}-x_{1,3}{x}_{2,2})i\\ & +(x_{1,3}{x}_{2,1}-x_{1,1}{x}_{2,3})j\\ & +(x_{1,1}{x}_{2,2}-x_{1,2}{x}_{2,1})k\\ & =\left[\begin{array}{c}{x}_{1,2}{x}_{2,3}-x_{1,3}{x}_{2,2}\\ x_{1,3}{x}_{2,1}-x_{1,1}{x}_{2,3}\\ x_{1,1}{x}_{2,2}-x_{1,2}{x}_{2,1}\end{array}\right]\end{array}$$
同理可得给定两条直线：$l_1(L_1),l_2(L_2)$ 这两条直线点的交点为：$x=l_1\times l_2$

设两条线的齐次坐标分别为：(-1,0,1), (-1,0,2)

则这两条平行线的交点为无穷远点：
$$x=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}\times (-1,0,2{)}^{\mathrm{T}}=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$$
第3个元素为0表示这是一个无穷远点
前两个元素表示无穷远点的方向：(0,1)表示这是一个竖直方向的无穷远点

综上所述：

• 点在直线上$:0=l^{T}x=x^{T}l$
• 经过两点$x_1$和$x_2$的直线：$l=x_1\times x_2$
• 两条线$l_1$和$l_2$的交点 : $x=l_1\times l_2$

因为对于任意无穷远点$x$存在直线$l=(0,0,1{)}^T$，使得$l^{T}x=0$恒成立，所以$l$为无穷远直线

二次曲线

平面上的二次曲线：用二阶方程描述

• 非齐次坐标表示：$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$
• 齐次坐标：$x\to x/w,y\to y/w$代入，得到$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dxw+eyw+f{w}^2=0$
• 矩阵形式：$x^{\mathrm{T}}Cx=0$，其中$C=\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$是对称矩阵，自由度为5

为每个点提供一个约束$a{x}_i^2+b{x}_i{y}_i+c{y}_i^2+d{x}_i+e{y}_i+f=0$，即$\left[x_i^2,x_i{y}_i,y_i^2,x_i,y_i,1\right]\mathbf{c}=0$，其中$c=[a,b,c,d,e,f{]}^{\mathrm{T}}$，可得
$$\left[\begin{array}{cccccc}{x}_1^2& x_1{y}_1& y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2& x_2{y}_2& y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2& x_3{y}_3& y_3^2& x_3& y_3& 1\\ x_4^2& x_4{y}_4& y_4^2& x_4& y_4& 1\\ x_5^2& x_5{y}_5& y_5^2& x_5& y_5& 1\end{array}\right]\mathbf{c}=0$$

3D

3D点

欧氏空间的3D点：$(X_1,X_2,X_3{)}^{\mathrm{T}}$

3D射影空间IP${}^3$的点的齐次坐标为$x=(X_1,X_2,X_3,X_4{)}^{\mathrm{T}}$

当$X_4\ne 0$时，$X=(\frac{X_1}{X_4},\frac{X_2}{X_4},\frac{X_3}{X_4},1{)}^{\mathrm{T}}=(X,Y,Z,1{)}^{\mathrm{T}}$

当$X_4=0$时，$(X_1,X_2,X_3,0)$表示无穷远点。

3D射影空间中的点的射影变换为：
$$X^{\prime }=HX$$
其中$H$为4×4的非奇异矩阵，自由度为15

3D 平面

可知3D点的形式如下
$$X=\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\\ X_4\end{array}\right]$$
设3D平面的形式如下
$$\pi =\left[\begin{array}{c}{\pi }_1\\ {\pi }_2\\ {\pi }_3\\ {\pi }_4\end{array}\right]$$
所以点在平面上可以表示为
$$X_1{\pi }_1+X_2{\pi }_2+X_3{\pi }_3+X_4{\pi }_4=0$$
若使用矩阵表示，则为
$$0={\pi }^{\mathrm{T}}X=X^{\mathrm{T}}\pi$$
同理可得，平面的射影变换为
$${\pi }^{\prime }=H^{-T}\pi$$
可知无穷远平面为${\pi }_{\infty }=(0,0,0,1{)}^T$

因为三个点可以确定一个平面，则有三个点满足$X_1{\pi }_1+X_2{\pi }_2+X_3{\pi }_3+X_4{\pi }_4=0$

所以存在方程组

点$X$ 在由3点$(X_1,X_2,X_3)$在一个平面上，有三点共面条件可得
$$\det \left[\begin{array}{cccc}{X}_1& X_{11}& X_{21}& X_{31}\\ X_2& X_{12}& X_{22}& X_{32}\\ X_3& X_{13}& X_{23}& X_{33}\\ X_4& X_{14}& X_{24}& X_{34}\end{array}\right]=0$$
解得：$X_1{D}_{234}-X_2{D}_{134}+X_3{D}_{124}-X_4{D}_{123}=0$

$$\mathbf{\pi }=(D_{234},-D_{123},D_{124},-D_{123}{)}^{\mathrm{T}}$$
可知3点 $(X_1,X_2,X_3)$ 确定的一个平面为：$(D_{234},-D_{123},D_{124},-D_{123}{)}^{\mathrm{T}}$ ，因为$\left[\begin{array}{c}{X}_1^T\\ X_2^T\\ X_3^T\end{array}\right]\pi =0$，即$\pi$是$\left[\begin{array}{c}{X}_1^T\\ X_2^T\\ X_3^T\end{array}\right]$的零空间。

因为三个平面可以确定一个点，所以可得3个平面 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ 确定一个交点$X$，存在$\left[\begin{array}{c}{\pi }_1^T\\ {\pi }_2^T\\ {\pi }_3^T\end{array}\right]X=0$，即$X$是$\left[\begin{array}{c}{\pi }_1^T\\ {\pi }_2^T\\ {\pi }_3^T\end{array}\right]$的零空间。

3D直线

两点的连线：给定两个不重合的点A、B，连接这两个点的直 线有一个2×4的矩阵W的行的生成子空间表示：
$$W=\left[\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right]$$
其中$\lambda A+\mu B=0$表示直线上的点簇