1. CRC校验

CRC（cyclic redundancy checksum）:循环冗余校验和。常见的校验方法：奇偶校验、因特网校验和循环冗余校验。

1.1 多项式公式

对于CRC校准除数，一般使用多项式（或二项式）公式表示，如下图中，除数11011（poly值为0X1B）的二项式为G（X）= X4 + X3 + X + 1

• X代表该bit位上的数据为1
• 除数的位数为二项式最高次幂+1（4+1=5）
  

1.2 多项式简记式

多项式的收尾必定为1，而这个1的位置在下一步计算一定为0，所以就把前面这个1给省略掉了，称为简记式。
例如上例中除数11011的简记式为1011

1.3 数据宽度

数据宽度指：CRC校验码的长度，比CRC除数位数少1，与简记式长度一致。

1.4 初始值与结果异或值

• 一些标准中规定了初始值：先把要计算的数据与初始值的最低字节进行异或，然后再与多项式进行计算
• 结果异或值不为零时：将计算得到的CRC结果值再与结果异或值进行一次异或计算，得到最终值，这才是我们需要的CRC校验码
• 初始值与结果值的位数 = 数据宽度

1.5 输入值反转与输出值反转

• 输入值反转：计算之前先将二项式反转，然后再用得到的新值和数据进行计算
  • G(x) = X16 + X15 + X2 + 1(16#18005)，其正向值为1 1000 0000 0000 0101，反值则为1010 0000 0000 0001 1
• 输出值反转：将最终得到的CRC结果反转
• 一般输入值和输出值是同向的：输入值反转，则输出值也是反转的

2. 常见的CRC算法

CRC可以任意定义二项式、数据长度等，这里列出一些国际常用的模型表

3. CRC校验算法前置知识

3.1 异或

• 异或：两个数不同则为1，相同则为0
• 运算符：^

0^0 = 0
0^1 = 1
1^1 = 0
1^0 = 1

异或运算存在几个规律

0^x = x 即0 异或任何数等于任何数
1^x = ~x 即1异或任何数等于任何数取反
x^x = 0 即任何数与自己异或，结果为0
a ^ b = b ^ a 交换律
a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^c 结合律

3.2 模2加法

• 与常规加法的区别，不进位。计算如下：效果与异或相同

0+0 = 0
0+1 = 1
1+1 = 0
1+0 = 1

3.3 模2减法

• 与常规减法的区别，不借位。计算如下：效果与异或相同

0-0 = 0
0-1 = 1
1-1 = 0
1-0 = 1

3.4 模2除法

• 与常规除法的区别，不借位

4. CRC原理

CRC原理：在K位信息码（目标发送数据）后再拼接R位校验码，使整个编码长度为N位，因此也叫（N，K）码。具体做法如下：

• 选定一个标准除数（K位二进制数据串）
• 在要发送的数据（m位）后面加上K-1位0，然后将这个新数（M+K-1位），以模2除法的方式除以上面这个标准除数，所得到的余数也就是该数据的CRC校验码。（余数必须比除数少且只少一位，不够就补0）
• 将这个校验码附在原m位数据后面，构成新的M+K-1位数据，发送给接收端
• 接收端将接收到的数据除以标准除数，如果余数为0则认为数据正确

注意：
1.发送端和接收端约定好一个除数，即CRC多项式

5. 计算示例

对于数据1110 0101（0xE5），以指定除数11011（CRC-5标准）求它的CRC校验码，其过程如下：

• 目标发送数据：1110 0101（16位）， 0xE5
• 标准除数： 11011 （5位）
• 目标发送数据 + (标准除数 - 1)位0： 1110 0101 0000
• 模2除法方式除以11011，商10101100，余数0100
• CRC校验码：0100
  
• 将将这个校验码附在原数据后面：1110 0101 0100
  

6. STM32 SPI 中的CRC校验

STM32中选择CRC polynominal 实际上就是在确认CRC标准的二项式：X0+X1+X2 就是111（第0位，第1位，第2位是1，对应数值=7）
查看STM32F4数据手册，可以看到SPI CRC calculation过程如下

STM32CubeMX设置polynominal多项式的值=7，就是这个寄存器的默认值

参考

1. CRC校验码详解、常见算法实现及代码实例
2. CRC校验计算网站：www.ip33.com
3. STM32CubeMX工具配置SPI的CRC时数字和表达式转换