8.1 二叉排序树 —— C语言实现-编程知识

系列文章目录

参考船说系列——数据结构与算法中的第八章内容。

二叉排序树
AVL树
红黑树
B-树

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前言
一、二叉排序树基础
二、二叉排序树的操作
- 2.1 插入
- 2.2 删除
三、代码演示
总结
参考文献

前言

数据结构 = 结构定义 + 结构操作
结构操作是用来维护结构性质的

一、二叉排序树基础

在这里插入图片描述二叉排序树（Binary Search Tree，BST）是一种二叉树，它具有以下性质：

每个节点都有一个值，且节点的值都不相同。
左子树中所有节点的值都小于该节点的值。
右子树中所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别为二叉排序树。

这些性质保证了二叉排序树的中序遍历是一个有序的序列。由于有序性，二叉排序树常被用于实现动态集合的数据结构，支持快速的查找、插入和删除操作。然而，如果插入的节点顺序不合理，可能导致二叉排序树退化成链表，影响其性能。

对于二叉排序树，平均情况下，查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。但是，在最坏情况下，二叉排序树可能退化成一个高度为n的链表，导致这些操作的时间复杂度为O(n)。

中序遍历：
在这里插入图片描述

二、二叉排序树的操作

2.1 插入

从根节点开始，比较要插入的值与当前节点的值。
如果要插入的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点为空，则将新节点插入为当前节点的左子节点；如果不为空，则继续向左子树遍历。（递归子问题）
如果要插入的值大于当前节点的值，并且当前节点的右子节点为空，则将新节点插入为当前节点的右子节点；如果不为空，则继续向右子树遍历。（递归子问题）
重复步骤2和步骤3，直到找到合适的位置插入新节点。

2.2 删除

删除节点有几种情况要讨论：

删除叶子节点
直接删除即可
删除出度为1的节点
将其唯一子节点提升到要删除节点的位置
删除出度为2的节点
a. 20节点的前驱（前驱位置的出度只能是0或者1，因为前驱是之前节点中值最大的节点）替换20这个当前节点，这样20就成了它之前节点所在位置中的左子树中最大值的节点。这样删掉20节点就变成了一个删除出度为0或者1的问题了，解决办法就能参考前两种办法！！！
b. 20节点的后继（后继位置的出度只能是0或者1，因为后继是之前节点中值最小的节点）替换20这个当前节点，这样20就成了它之前节点所在位置中的右子树中最小值的节点。这样删掉20节点就变成了一个删除出度为0或者1的问题了，解决办法就能参考前两种办法！！！

有个容易找到前驱后继的方法：
- 前驱是该节点的左子树一直往右，直到右节点为空的节点
- 后继是该节点的右子树一直往左，直到左节点为空的节点

简单来说就是删除出度为2的节点，则可以选择将其右子树中最小的节点（后继）或左子树中最大的节点（前驱）替代要删除的节点，然后删除该最小或最大节点（变成了删除出度为0或者1的问题）。

三、代码演示

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>#define KEY(n) (n ? n->key : -1)typedef struct Node{int key;struct Node *lchild, *rchild;
} Node;Node *getNewNode(int key){Node *p = (Node *)malloc(sizeof(Node));p->key = key;p->lchild = p->rchild = NULL;return p;
}Node *insert(Node *root, int key){if (root == NULL) return getNewNode(key);if (key == root->key) return root; //重复的值不再插入if (key < root->key) root->lchild = insert(root->lchild, key);else root->rchild = insert(root->rchild, key);return root;   //返回根节点的地址
}Node *predecessor(Node *root){Node *temp = root->lchild;while (temp->rchild) temp = temp->rchild;return temp;
}Node *erase(Node *root, int key){if (root == NULL) return root;if (key < root->key) root->lchild = erase(root->lchild, key);else if (key > root->key) root->rchild = erase(root->rchild, key);else {if (root->lchild == NULL && root->rchild == NULL){free(root);return NULL;}else if (root->lchild == NULL || root->rchild == NULL){Node *temp = root->lchild ? root->lchild : root->rchild;free(root);return temp;}else {Node *temp = predecessor(root); //找到当前节点的前驱root->key = temp->key;root->lchild = erase(root->lchild, temp->key);}}return root;
}void clear(Node *root){if (root == NULL) return;clear(root->lchild);clear(root->rchild);clear(root);return;
}void output(Node *root){if (root == NULL) return;printf("(%d ; %d, %d)\n", KEY(root), KEY(root->lchild), KEY(root->rchild));output(root->lchild);output(root->rchild);return;
}void in_order(Node *root){if (root == NULL) return;in_order(root->lchild);printf("%d ", root->key);in_order(root->rchild);return;
}int main(){srand(time(0));#define MAX_OP 10Node *root = NULL;for (int i = 0; i < MAX_OP; i++){int key = rand() % 100;printf("insert key %d to BST\n", key);root = insert(root, key); //完成插入操作后新的BST根节点的地址}output(root);printf("in_order : ");in_order(root);printf("\n");int x;while (~scanf("%d", &x)){printf("erase %d from BST\n", x);root = erase(root, x);in_order(root);printf("\n");}return 0;
}