Floyd(多源汇最短路)-编程知识

Floyd求最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式

共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤200
1≤k≤n2
1≤m≤20000
图中涉及边长绝对值均不超过 10000

输入样例：

输出样例：

impossible
1

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=220,INF=0x3f3f3f3f;
int f[N][N];
int main()
{int n,m,K;cin>>n>>m>>K;memset(f,0x3f,sizeof f);for(int i=0;i<=n;i++) f[i][i]=0;while(m--){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;f[x][y]=min(f[x][y],z);}for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);}}while(K--){int a,b;cin>>a>>b;if(f[a][b]>=INF/2) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<f[a][b]<<endl;}return 0;
}

牛的旅行

农民John的农场里有很多牧区，有的路径连接一些特定的牧区。

一片所有连通的牧区称为一个牧场。

但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。

现在，John想在农场里添加一条路径（注意，恰好一条）。

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离（本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离）。

考虑如下的两个牧场，每一个牧区都有自己的坐标：

图 1 是有 5 个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。

图 1 所示的牧场的直径大约是 12.07106, 最远的两个牧区是 A 和 E，它们之间的最短路径是 A-B-E。

图 2 是另一个牧场。

这两个牧场都在John的农场上。

John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。

只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

输出这个直径最小可能值。

输入格式

第 1 行：一个整数 N, 表示牧区数；

第 2 到 N+1 行：每行两个整数 X,Y，表示 N 个牧区的坐标。每个牧区的坐标都是不一样的。

第 N+2 行到第 2*N+1 行：每行包括 N 个数字 ( 0或1 ) 表示一个对称邻接矩阵。

例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

  A B C D E F G H 
A 0 1 0 0 0 0 0 0 
B 1 0 1 1 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 1 0 0 0 
D 0 1 0 0 1 0 0 0 
E 0 1 1 1 0 0 0 0 
F 0 0 0 0 0 0 1 0 
G 0 0 0 0 0 1 0 1 
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输入数据中至少包括两个不连通的牧区。

输出格式

只有一行，包括一个实数，表示所求答案。

数字保留六位小数。

数据范围

1≤N≤150

0≤X,Y≤10^5

输入样例：

输出样例：

22.071068

直径最大值最小

题目的问题：给定两个联通块，在两个连通块中各取任意一点进行连接合成一个连通块，求合并后的联通块的最长路径的最小值

floyd：
这里可以分为两种情况：一种是在同一个连通分量，还有一种是不在同一个连通分量
1.在同一连通分量：
我们用maxd[i]表示和i所在连通分量的最长直径
那么这里的答案就是max1≤i≤nmaxd[i]max1≤i≤nmaxd[i]
2.不在同一连通分量：
我们可以用两个连通分量的maxd+它们之间的最短距离即可
这里的答案就是maxd[i]+get (i,j)+max[j]

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int>PII;
const int N=200;
const double INF=1e20;
PII q[N];//存储n个牧场的坐标
char g[N][N];//存储n个牧场之间是否有边
double d[N][N];//存储n牧场之间的距离最下值
double dmax[N];//dmax[i]表示 i所在的连通分量的最长直径
int n;
//两个牧场之间的距离
double get_dist(PII a,PII b)
{double dx=b.x-a.x,dy=b.y-a.y;return sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i].x>>q[i].y;for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i];for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(i!=j){if(g[i][j]=='1')d[i][j]=get_dist(q[i],q[j]);else d[i][j]=INF;}}}//floyd 得出d[i][j] 距离的最小值for(int k=0;k<n;k++){for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(d[i][j]<INF){dmax[i]=max(dmax[i],d[i][j]);}}}double ans1=0;//情况1for(int i=0;i<n;i++) ans1=max(ans1,dmax[i]);double ans2=INF;//情况2for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(d[i][j]>=INF){ans2=min(ans2,get_dist(q[i],q[j])+dmax[i]+dmax[j]);}}}printf("%.6lf\n",max(ans1,ans2));return 0;
}

排序（传递闭包）

给定 n 个变量和 m 个不等式。其中 n 小于等于 26，变量分别用前 n 的大写英文字母表示。

不等式之间具有传递性，即若 A>B 且 B>C，则 A>C。

请从前往后遍历每对关系，每次遍历时判断：

如果能够确定全部关系且无矛盾，则结束循环，输出确定的次序；
如果发生矛盾，则结束循环，输出有矛盾；
如果循环结束时没有发生上述两种情况，则输出无定解。

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据，第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个不等式，不等式全部为小于关系。

当输入一行 0 0 时，表示输入终止。

输出格式

每组数据输出一个占一行的结果。

结果可能为下列三种之一：

如果可以确定两两之间的关系，则输出 "Sorted sequence determined after t relations: yyy...y.",其中't'指迭代次数，'yyy...y'是指升序排列的所有变量。
如果有矛盾，则输出： "Inconsistency found after t relations."，其中't'指迭代次数。
如果没有矛盾，且不能确定两两之间的关系，则输出 "Sorted sequence cannot be determined."。

数据范围

2≤n≤26，变量只可能为大写字母 A∼Z。

输入样例1：

4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0

输出样例1：

Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.

输入样例2：

6 6
A<F
B<D
C<E
F<D
D<E
E<F
0 0

输出样例2：

Inconsistency found after 6 relations.

输入样例3：

5 5
A<B
B<C
C<D
D<E
E<A
0 0

输出样例3：

Sorted sequence determined after 4 relations: ABCDE.

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=30;
bool g[N][N],d[N][N];
bool st[N];
int n,m;
void floyd()//通过floyd 来逐渐判断两个点的连通情况
{memcpy(d,g,sizeof d);for(int k=0;k<n;k++)for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)if(!d[i][j]) d[i][j]=d[i][k]&d[k][j];}
int check()
{for(int i=0;i<n;i++)//矛盾情况 A<Aif(d[i][i]) return 2;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<i;j++)//不能确定情况if(!d[i][j]&&!d[j][i]) return 0;//可以确定情况return 1;
}
char get_min()//每次取出最小值
{for(int i=0;i<n;i++){if(!st[i])//如果没有取出 {bool flag=true;for(int j=0;j<n;j++)//判断是否 最小{if(!st[j]&&d[j][i]) {flag=false;break;}}if(flag){st[i]=true;return 'A'+i;}}}
}
int main()
{while(cin>>n>>m,n||m){memset(g,0,sizeof g);int type=0,t;// t 记录轮次  type记录判断出来与否的标志for(int i=1;i<=m;i++){char str[10];cin>>str;int a=str[0]-'A',b=str[2]-'A';if(!type){g[a][b]=1;floyd();type=check();if(type) t=i;}}if(!type) cout<<"Sorted sequence cannot be determined."<<endl;else if(type==2)printf("Inconsistency found after %d relations.\n",t);else{memset(st,0,sizeof st);printf("Sorted sequence determined after %d relations: ",t);for(int i=0;i<n;i++) printf("%c",get_min());printf(".\n");}}return 0;
}