P1891 疯狂 LCM

求 \(\sum_{i=1}^n lcm(i,n)\)，\(T\le 3\times 10^5\)，\(n\le 10^6\)。

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n lcm(i,n)&=n\sum_{i=1}^n\dfrac{i}{(i,n)}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n [(i,n)=d]\cdot\dfrac{i}{d}\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\cdot [(i,\frac{n}{d})=1]\\ &=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^d i\cdot [(i,d)=1]\\ &=n\sum_{d|n}\text{1 到 d 中与 d 互质的数的和} \end{aligned} \]

观察发现若 \((a,n)=1\)，则 \((a-n,n)=1\)，可以发现互质的数总是成对出现，且和为 \(n\)。因此当 \(d\neq 1\)，\(\sum_{i=1}^{d}i\cdot [(i,d)=1]=\varphi(d)\cdot d\cdot \dfrac{1}{2}\)。（\(d=1\) 特殊处理）