暑假集训CSP提高模拟17
组题人： @joke3579
\(T1\) P222. 符号化方法初探 \(70pts\)
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原题： [ABC081D] Non-decreasing
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部分分
- 测试点 \(1\) ：输出样例 \(1\) 。
- 测试点 \(11 \sim 15\) ：由于 \(\{ a \}\) 非负，所以对 \(\{ a \}\) 作前缀和即可。
- 随机 \(pts\) ：乱搞。
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正解
- 当 \(\{ a \}\) 都是负数时，对 \(\{ a \}\) 作后缀和即可。
- 问题来到了怎么让 \(\{ a \}\) 的符号都相同。
- 取 \(\{ a \}\) 中绝对值最大的一个数，让其他数都加上这个数即可。
- 总次数为 \(2n-2\) 。
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int a[100010]; int main() {int n,maxx=0,pos=0,flag=1,i;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];if(abs(a[i])>maxx){maxx=abs(a[i]);pos=i;}if(i>=2){flag&=((a[i]>=0&&a[i-1]>=0)||(a[i]<0&&a[i-1]<0));}}if(flag==1){cout<<n-1<<endl;if(a[1]>=0){for(i=2;i<=n;i++){cout<<i-1<<" "<<i<<endl;}}else{for(i=n-1;i>=1;i--){cout<<i+1<<" "<<i<<endl;}}}else{cout<<2*n-2<<endl;for(i=1;i<=n;i++){if(i!=pos){cout<<pos<<" "<<i<<endl;}}if(a[pos]>=0){for(i=2;i<=n;i++){cout<<i-1<<" "<<i<<endl;}}else{for(i=n-1;i>=1;i--){cout<<i+1<<" "<<i<<endl;}}}return 0; }
\(T2\) P223. 无标号 Sequence 构造 \(40pts\)
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原题： luogu P10102 [GDKOI2023 提高组] 矩阵
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部分分
- \(25 \sim 50pts\) ：使用 \(O(n^{3})\) 的矩阵乘法暴力判断。
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正解
- 发现仅需要判断相不相等，且只需要找到一个位置不同即可。
- 考虑随机化，随机选择 \(1\) 个点进行判断的正确率太低，那么我们可以随机一个 \(1 \times n\) 的矩阵 \(D\) ，判断 \(D \times A \times B\) 是否等于 \(D \times C\) 。
- 由秩-零化度定理可以知道这样判断错误的概率不超过 \(\frac{1}{998244353}\) ，不放心可以多随几次。
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const ll p=998244353; int a[3010][3010],b[3010][3010],c[3010][3010],d[2][3010],e[2][3010],f[2][3010]; int main() {ll t,n,flag,i,j,k,h;scanf("%lld",&t);srand(time(0));for(k=1;k<=t;k++){flag=0;scanf("%lld",&n);for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);}}for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&b[i][j]);}}for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&c[i][j]);}}for(i=1;i<=n;i++){d[1][i]=rand();}for(i=1;i<=1;i++){for(j=1;j<=n;j++){e[i][j]=0;for(h=1;h<=n;h++){e[i][j]=(1ll*e[i][j]+1ll*d[i][h]*a[h][j]%p)%p;}}}for(i=1;i<=1;i++){for(j=1;j<=n;j++){f[i][j]=0;for(h=1;h<=n;h++){f[i][j]=(1ll*f[i][j]+1ll*e[i][h]*b[h][j]%p)%p;}}}for(i=1;i<=1;i++){for(j=1;j<=n;j++){e[i][j]=0;for(h=1;h<=n;h++){e[i][j]=(1ll*e[i][j]+1ll*d[i][h]*c[h][j]%p)%p;}}}for(i=1;i<=1;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][j]!=f[i][j]){flag=1;break;}}if(flag==1){break;}}if(flag==1){printf("No\n");}else{printf("Yes\n");}}return 0; }
\(T3\) P224. 无标号 Multiset 构造 \(5pts\)
- 部分分
- \(5pts\) ：输出样例 \(1\) 。
- 正解
\(T4\) P225. 有限制的构造 \(40pts\)
- 原题： [ABC364E] Maximum Glutton
- 考虑求出要求玩过的游戏的画面质量之和 \(\le A\) 且不可玩度之和 \(\le B\) 的最多游戏数，然后多玩一个即可（若还有剩的）。
- 部分分
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\(25 \sim 40pts\) ：设 \(f_{i,j,k}\) 表示处理到第 \(i\) 个游戏时玩过的游戏的画面质量之和 \(\le j\) 且不可玩度之和 \(\le k\) 的最多游戏数，状态转移方程为 \(f_{i,j,k}=\max(f_{i-1,j,k},f_{i-1,j-a_{i},k-b_{i}}+1)\)，跑一遍二维 \(01\) 背包 \(DP\) ，稍微压一下空间。
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int w[100],v[100]; short f[10010][6510]; int main() {int n,a,b,i,j,k;short sum;cin>>n>>a>>b;for(i=1;i<=n;i++){cin>>w[i]>>v[i];if(a<b){swap(w[i],v[i]);}}if(a<b){swap(a,b);}for(i=1;i<=n;i++){for(j=a;j>=w[i];j--){for(k=b;k>=v[i];k--){sum=f[j-w[i]][k-v[i]]+1;f[j][k]=max(f[j][k],sum);}}}cout<<f[a][b]+(f[a][b]!=n)<<endl;return 0; }
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- 正解
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由 AT_dp_e Knapsack 2 | CF922E Birds 的经验，考虑优化状态设计。
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设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个游戏中玩了 \(j\) 个游戏，画面质量之和 \(\le k\) 时不可玩度之和的最小值，状态转移方程为 \(f_{i,j,k}=\min(f_{i-1,j,k},f_{i-1,j-1,k-a_{i}}+b_{i})\) 。
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int w[100],v[100],f[2][100][10010]; int main() {int n,a,b,i,j,k;cin>>n>>a>>b;memset(f,0x3f,sizeof(f));for(i=1;i<=n;i++){cin>>w[i]>>v[i];}f[0][0][0]=0;for(i=1;i<=n;i++){for(j=0;j<=i;j++){for(k=0;k<=a;k++){f[i&1][j][k]=f[(i-1)&1][j][k];if(j-1>=0&&k-w[i]>=0){f[i&1][j][k]=min(f[i&1][j][k],f[(i-1)&1][j-1][k-w[i]]+v[i]);}}}}for(i=n;i>=0;i--){for(k=0;k<=a;k++){if(f[n&1][i][k]<=b){cout<<i+(i!=n)<<endl;return 0;}}} }
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