三次剩余特征

今天推点史：

Laur - Symphony Op.1 -CHAOS
ZAQUVA - Speculation
DJ Noriken & DJ Genki - Dream Away feat. Yukacco (Hylen Remix)

史歌后边还有史笑话：

祭丁过，两广文①争一猪大脏，各执其脏之一头。一广文稍强，尽掣得其脏，争者只两手撸得脏中油一捧而已。因曰：“予虽不得大葬（脏），君无尤（油）焉。”

①广文：清苦闲散的儒学教官。

一人以幼子命犯孤宿，乃送出家，僧设酒款待。子偶撒一屁甚响，父不觉大恸。僧曰：“撒屁乃是常事，何以发悲？”父曰：“想我小儿此后要撒这个响屁，再不能够了。”

有买粪于寺者，道人索倍价。乡人讶之，道人曰：“此粪与他处不同，尽是师父们桩实落的，泡开来一担便有两担。”

第一个笑话似乎有些过于晦涩难懂了 .

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\( \DeclareMathOperator{\i}{\mathbb{i}} \DeclareMathOperator{\e}{\mathbb{e}} \DeclareMathOperator{\eps}{\varepsilon} \)

下文如果不加说明的话，希腊字母代表在 \(\Z[\i]\) 或 \(\Z[\omega]\) 上的数，正常字母代表 \(\Z\) 上的数 .

定理 1

设 \(F\) 为 \(\Z[\omega]\)，\(\pi\) 是 \(F\) 中的一个不可分数 .

如果 \(\pi\not\mid\alpha\)，则 \(\alpha^{N(\pi)-1}\equiv 1\pmod \pi\) .

证：

因为 \((F/\pi F)^*\) 的阶为 \(N(\pi)-1\)，所以上式显然成立 .

对“显然”的解释

因为拉格朗日定理，群 \(G\) 的阶被其子群 \(H\) 的阶整除，设 \(|G|\) 为群 \(G\) 的阶，\(a\in G\)，则有：

\[a^{|G|}=a^{k|a|}=e^k=e \]

发现如果把 \((F/\pi F)^*\) 换成 \((\Z/n\Z)^*\) 就是欧拉定理的证明 .

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定理 2

设 \(F\) 为 ，\(\pi\) 是 \(F\) 中的一个不可分数，\(N(\pi)\neq 3\)，\(\pi\not\mid\alpha\)，则存在唯一的 \(m\in\{0,1,2\}\)，使得：

\[\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv \omega^m\pmod \pi\,. \]

证：

易得，如果 \(N(\pi)\neq 3\)，则 \(1,\omega,\omega^2\) 构成 \((F/\pi F)^*\) 的一个子群，故：

\[3\mid N(\pi)-1\,. \]

再由定理 1 知 \(\alpha^{N(\pi)-1}\equiv 1\pmod \pi\)，而

\[\alpha^{N(\pi)-1}-1=(\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}-1)(\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}-\omega)(\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}-\omega^2), \]

故得证 .

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下边就可以引入三次剩余特征的定义了 .

定义

设 \(F\) 为 \(\Z[\omega]\)，\(\pi\) 是 \(F\) 中的一个不可分数 .

\(N(\pi)\neq 3\)，\(\alpha\) 模 \(\pi\) 的三次剩余特征 \(\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\) 是：

\[\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3= \begin{cases} 0 &\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv 0\pmod \pi\\ 1 &\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv 1\pmod \pi\\ \omega &\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv \omega\pmod \pi\\ \omega^2 &\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv \omega^2\pmod \pi\\ \end{cases} \]

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下边一众定理表明了 \(\displaystyle\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\) 的基本性质：

定理 3
\(\\\)

1. 设 \(\pi\not\mid\alpha\)，\(\displaystyle\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=1\) 当且仅当 \(x^3\equiv\alpha\pmod \pi\) 在 \(\Z[\omega]\) 中可解；

2. \(\displaystyle\left(\frac{\alpha\beta}{\pi}\right)_3=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3\left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3\)；

3. 若 \(\alpha\equiv\beta\pmod\pi\)，则 \(\displaystyle\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=\left(\frac{\beta}{\pi}\right)_3\)；

4. \(\displaystyle\overline{\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3}=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3^2=\left(\frac{\alpha^2}{\pi}\right)_3\)；

5. \(\displaystyle\overline{\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3}=\left(\frac{\overline\alpha}{\overline\pi}\right)_3\) .

在此只证明 1.，因为剩下的根据定义是显然的 .

证：

设 \(\beta\) 为 \(x^3\equiv\alpha\pmod \pi\) 的一个解，且 \(\pi\not\mid\beta\)，由 \(\beta^3\equiv\alpha\pmod \pi\) 推出 \(\displaystyle 1\equiv\beta^{N(\pi)-1}\equiv\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\pmod \pi\)，故 \(\displaystyle\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=1\) .

反之，\(\displaystyle\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3=1\)，故 \(\alpha^{\frac{N(\pi)-1}3}\equiv 1\pmod \pi\)，设 \(S\) 是 \((F/\pi F)^*\) 的生成元，\(g\in C\)，\(\alpha\equiv g^{a}\pmod \pi\)，即得 \(\displaystyle1\equiv g^{a\cdot\frac{N(\pi)-1}3}\pmod \pi\)，故 \(N(\pi)-1\mid a\cdot\frac{N(\pi)-1}3\)，因此 \(3\mid a\)，即知 \(x^3\equiv\alpha\pmod \pi\) 有解，得证 .

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有以下简单推论，在此不作证明：

推论 1

设 \(p\equiv 2\pmod 3\)，\((n,p)=1\)，则 \(\displaystyle\left(\frac{n}{p}\right)_3=1\)

该推论指出：\(p\equiv 2\pmod 3\) 时，对于 \(p\not\mid n\)，存在 \(a+b\omega\)，使得 \((a+b\omega)^3\equiv n\pmod p\)，故 \((a+b\omega^2)^3\equiv (a+b\omega)^3\pmod p\)，即得 \(3a^2b(\omega-\omega^2)+3ab^2(\omega^2-\omega)\equiv 0\pmod p\)，即 \(p\mid ab(a-b)\)，如果 \(p\mid ab\)，即 \(a^3\equiv n\pmod p\) 或 \(b^3\equiv n\pmod p\)；若 \(p\mid a-b\)，则 \(a^3(1+\omega)^3\equiv -a^3\equiv n\pmod p\) .

总之，该推论导出，存在 \(m\in\Z\) 满足 \(m^3\equiv n\pmod p\) .

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为排除相伴不可分数的影响，比较好地确定唯一分解，引入本原数 .

定义

设 \(\pi\) 是 \(\Z[\omega]\) 中的不可分数，若 \(\pi\equiv 2\pmod 3\)，则称 \(\pi\) 是本原的 .

如果 \(\pi=p\equiv 2\pmod 3\)，显然 \(\pi\) 是显然的，如果 \(\pi=a+b\omega\in\C\)，则 \(\pi\equiv 2\pmod 3\Longleftrightarrow a\equiv 2\pmod 3,b\equiv 0\pmod 3\) .

定理 3

设 \(N(\pi)=p\equiv 1\pmod 3\)，则在 \(\pi\) 的相伴数中有且仅有一个是本原的 .

证明略去，六种情况列一下就出来了 .