L1 损失和 L2 损失是两种常用的损失函数，用于衡量模型的预测值与真实值之间的误差。它们的主要区别在于对误差的处理方式不同，导致它们的性质和应用场景有所不同。
1. L1 损失 (绝对值损失, MAE)
L1 损失计算的是预测值与真实值之间绝对误差的总和：
[
L_{\text{L1}} = |\mathbf{\epsilon} - \hat{\mathbf{\epsilon}}_\theta(\mathbf{x}t, t)|1 = \sum |\epsilon_i - \hat{\epsilon}\theta(\mathbf{x}_t, t)_i|
]
特点：
- L1 损失函数的特点是对每个误差取绝对值，因此对异常值（outliers）的影响较小。
- 由于 L1 损失对大误差的惩罚较小，它倾向于生成更稀疏的解（即许多参数为零），这在某些任务（如稀疏编码或特征选择）中很有用。
梯度特性：
- L1 损失的梯度是常数：误差为正时梯度为 1，误差为负时梯度为 -1。这意味着当误差很小时，模型的更新速度不会很快。
2. L2 损失 (平方差损失, MSE)
L2 损失计算的是预测值与真实值之间误差的平方和：
[
L_{\text{L2}} = |\mathbf{\epsilon} - \hat{\mathbf{\epsilon}}_\theta(\mathbf{x}t, t)|2^2 = \sum (\epsilon_i - \hat{\epsilon}\theta(\mathbf{x}_t, t)_i)^2
]
特点：
- L2 损失对大误差的惩罚较大，因为误差的平方会放大大的误差。这使得 L2 损失更敏感于异常值（outliers）。
- 因为 L2 损失倾向于最小化所有误差，它更适合于均匀分布的数据或误差。
梯度特性：
- L2 损失的梯度与误差成正比，因此当误差很大时，梯度会更大。这意味着 L2 损失在大误差的情况下会更快地更新参数。
3. 区别总结：
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L1 损失：计算的是误差的绝对值，因此对每个误差的惩罚是线性的。它对异常值不敏感，适合处理含有噪声的数据。L1 损失也倾向于产生稀疏解。
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L2 损失：计算的是误差的平方，因此对大误差的惩罚较重。它更适合没有太多噪声的情况，且对异常值敏感。
4. 选择何时使用 L1 或 L2 损失：
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L1 损失 适合在噪声较大、异常值较多的场景中使用，因为它对大误差的影响较小，且能够产生稀疏解。
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L2 损失 适合用于误差较为均匀分布的场景中，因为它会对所有误差施加较大的惩罚，从而最大程度地减少所有误差。
5. 在训练中的表现：
- L2 损失：由于平方的惩罚机制，在大误差时，参数的更新速度较快，因此它可以更快地收敛于一个全局最小值。
- L1 损失：由于对大误差的更新较为温和，收敛速度相对较慢，但对噪声和异常值的鲁棒性更好。
总结：
- L1 损失：对误差的绝对值进行惩罚，适合对噪声和异常值不敏感的任务。
- L2 损失：对误差的平方进行惩罚，更适合平滑且噪声较少的数据，同时可以加速大误差的修正。
