高等数学 7.10常系数线性微分方程组解法举例

在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这些联立的微分方程称为微分方程组。

如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程组。

对于常系数线性微分方程组，我们可以用下述的方法求解它：

第一步 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程。

第二步 解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数。

第三步 把已求得的函数代入原方程组，一般来说，不必经过积分就可求出其余未知函数。

例1 解方程组

\[\begin{cases} \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3y - 2z \quad (1) \\ \cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = 2y - z \quad (2) \\ \end{cases} \]

解：这是含有两个未知函数\(y(x), z(x)\) 的由两个一阶常系数线性方程组成的方程组。

设法消去未知函数 \(y\) 。由 \((2)\) 式得

\[y = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + z \right) \tag{3} \]

对上式两端求导，有

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}x^2} + \cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} \right) \tag{4} \]

把 \((3)\) 、\((4)\) 代入 \((1)\) 并化简，得

\[\cfrac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}x^2} - 2 \cfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + z = 0 \]

这是一个二阶常系数线性方程，它的通解是

\[z = (C_1 + C_2 x) \mathrm{e}^x \tag{5} \]

再把 \((5)\) 代入 \((3)\) 得

\[y = \cfrac{1}{2} (2C_1 + C_2 + 2C_2 x) \mathrm{e}^x \tag{6} \]

将 \((5)、(6)\) 联立起来，就得到所给方程组的通解。

如果我们要得到方程组满足初值条件

\[\left . y \right|_{x = 0} = 1, \quad \left . z \right|_{x = 0} = 0 \]

的特解，只需将此条件代入 \((6)\) 和 \((5)\) 式，得

\[\begin{cases} 1 = \cfrac{1}{2} (2C_1 + C_2) \\ 0 = C_1 \end{cases} \]

由此求得

\[C_1 = 0, \quad C_2 = 2 \]

于是所给微分方程组满足上述初值条件的特解为

\[\begin{cases} y = (1 + 2x) \mathrm{e}^x \\ z = 2 x \mathrm{e}^x \end{cases} \]

例2 解方程组

\[\begin{cases} \cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} - x = \mathrm{e}^t \\ \\ \cfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} + \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + y = 0 \end{cases} \]

解：用记号 \(\mathrm{D}\) 表示 \(\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\)，则方程组可记作

\[\begin{cases} (\mathrm{D}^2 - 1)x + \mathrm{D}y = \mathrm{e}^t \quad (7) \\ \\ \mathrm{D}x + (\mathrm{D}^2 + 1)y = 0 \quad (8) \end{cases} \]

我们可以类似于解代数方程组那样消去一个未知数，例如为消去 \(x\) ，可做如下运算：

\[\begin{align*} (7) - \mathrm{D}(8) &: -x - \mathrm{D}^3 y = \mathrm{e}^t \\ (8) - \mathrm{D}(9) &: (-\mathrm{D}^4 + \mathrm{D}^2 + 1)y = \mathrm{D} \mathrm{e}^t \end{align*} \tag{9} \]

即

\[(- \mathrm{D}^4 + \mathrm{D}^2 + 1)y = \mathrm{e}^t \tag{10} \]

\((10)\) 式微四阶非齐次线性方程，其特征方程为

\[-r^4 + r^2 + 1 = 0 \]

解得特征根为

\[r_{1, 2} = \pm \alpha = \pm \sqrt{\cfrac{1 + \sqrt 5}{2}} , \quad r_{3, 4} = \pm \beta \mathrm{i} = \pm \mathrm{i} \sqrt{\cfrac{\sqrt 5 - 1}{2}} \]

容易求得一个特解 \(y^* = \mathrm{e}^t\)，于是 \((10)\) 的通解为

\[y = C_1 \mathrm{e}^{- \alpha t} + C_2 \mathrm{e}^{\alpha t} + C_3 \cos{\beta t} + C_4 \sin{\beta t} + \mathrm{e}^t \tag{11} \]

再求 \(x\)。由 \((9)\) 式，即有

\[x = - \mathrm{D}^3 y - \mathrm{e}^t \]

以 \((11)\) 式代入上式，即得

\[x = \alpha^3 C_1 \mathrm{e}^{- \alpha t} - \alpha^3 C_2 \mathrm{e}^{\alpha t} - \beta^3 C_3 \sin{\beta t} + \beta^3 C_4 \cos{\beta t} - 2 \mathrm{e}^t \tag{12} \]

将 \((11)\) 和 \((12)\) 两个函数联立，就是所求方程组的通解。

这里要注意，在求得一个未知函数以后，再求另一个未知函数式，一般不再积分（积分就会出现新的任意常数，从 \((11)、(12)\) 两式可知两式中的任意常数之间有着确定的关系）。

也可利用行列式接上述方程组。解法如下图：