MX S27

news/2024/11/14 4:32:30/文章来源:https://www.cnblogs.com/winter2020/p/18541057

snake

考虑 $q=1$ ，先预处理出每个方格是否被毒蛇覆盖，若覆盖则设方格权值为 $1$ ，否则设为 $0$ 。然后求解 $(1,1)$ 到 $(n,n)$ 的最短路即可。用 dijkstra 复杂度则为 $\mathcal O(n^3+n^2\log n)$。

由于网格大小为 $n\times n$ ，那么 $n$ 秒以后的网格都是一样的。所以 $q\not =1$ 只需要对 $t=1,2...n$ 分别求求解即可，时间复杂度 $\mathcal O(n^3+n^3\log n)$。

而方格权值要么为 $0$ ，要么为 $1$ ，使用 01BFS 即可使时间复杂度降为 $\mathcal O(n^3)$。

array

注意到 $a_i\leq 10$。

枚举每类数，强制这类数在区间 $[L,R]$ 中出现次数大于一半。

假设当前枚举的数为 $c$ 。

那么把 $a_i=c$ 看成 $+1$ ，$a_i\not=c$ 看成 $-1$，满足条件的区间等价于区间和大于 $0$ 。

设前缀和数组为 $b_i$ ，那么有 $b_R>b_{L-1}$，使用归并排序，线段树或者树状数组求出这样的逆序对个数即可。

时间复杂度 $\mathcal O((\max a_i)n\log n)$。

fac

由于每个元素的答案是独立的，所以只需要对于每个 $A_i$ 求解答案然后求和即可。

设 $f(x,k)$ 表示 $x$ 经过操作 $k$ 次后的答案，那么有：

\[f(x,k)=\sum_{d|x}f(d,k-1) \]

直接递推即可做到 $\mathcal O(Vk\log V)$。其中 $V=\max a_i$。

对于 $A_i$ 质因数只有一种，直接递推即可。

\[f(p^x,k)=\begin{cases} 1&{\rm if}(x=0)\\ p\times f(p^{x-1},k)+\binom{k-1+x}{x}&{\rm otherwise} \end{cases} \]

对于 $n=1$ 的问题，可以把所有转移建边。得到的图除去自环就是一张 DAG 。那么问题变成从 $A_1$ 出发，走 $k$ 步到达的点权和。

设 $g(x,i)$ 表示没有走过自环，走 $i$ 步到达 $x$ 的方案数。然后把剩下 $k-i$ 步分配到每个点走自环数量上，插板法即可。

最后发现这个函数是积性函数，即对于 $\gcd(x,y)=1,$ 有 $f(x,k)\times f(y,k)=f(xy,k)$。

所以预处理所有 $p^x$ 处的值即可。

perm

$f(i,j,S)$ 表示确定 $1,2,\cdots,i$ 在 $b$ 中的位置，其中有 $j$ 个 $c$ 确定为 $1$（$i-j$ 个为 $2$），$S$ 为剩余没填数的 $b$ 位置集合。

1、$c=1$$$f(i,j,S)=\sum_{k\in S,|i+1-k|\le 1}f(i+1,j+1,S-{k})$$

2、$c=2$$$f(i,j,S)=\sum_{k\in S,|i+1-k|\le 2}f(i+1,j,S-{k})$$

注意到 $[i+3,n]$ 一定属于 $S$，并且 $[1,i]$ 的所有空位都是一样的，所以 $S$ 只要记 $[i+1,i+2]$ 即可。复杂度 $O(n^2)$。

tree

模拟题意暴力比较两两字典序，复杂度 $\mathcal O(qn^2)$。

首先 $L$ 至少是 $P_1$ 的一个前缀。否则会有 $L>P_1$，不满足 $L$ 是字典序最小的条件。在 $L$ 是 $P_1$ 前缀的前提下，$|L|$ 越小，则 $L$ 字典序也越小。

当 $a_i$ 是排列的情况下，若 $sz_x=k$ ，则要求 $1\sim k$ 全部在 $sz_x$ 的子树内。这里给出一种做法：对于 $i\in[1,n-1]$ ，设 $a_x=i,a_y=i+1$，对 $(x,y)$ 路径上除了 $y$ 的点执行 $+1$ 操作。那么上述要求等价于 $x$ 的权值等于一。树剖线段树维护子树最小值（第一关键字按权值排序，第二关键字按 $sz$ 排序）即可。时间复杂度 $\mathcal O(n\log^2 n)$。