学图论

Boruvka

每一轮操作，对于每个点来说，让他和“最近的与他有连边且还未连通的点”相连。

最多 \(\log n\) 轮，每轮 \(O(n\cdot p)\)，\(p\) 为找“最近的与他有连边且还未连通的点”的复杂度。

\(O(np\log n)\)

Kruskal 重构树

设从小到大加边，性质：

• 二叉树，\(2n-1\) 个点（数组开两倍）
• 原图的节点对应树中的叶子
• 若忽略叶子，重构树满足堆的性质，即父亲 \(\ge\) 儿子
• \(u,v\) 之间所有路径的“经过边权最大值”的最小值，是 \(u,v\) 在重构树上 LCA 的权值
• 原图 \(u\) 点，其只经过 \(\le w\) 的边能到达的点，为 \(u\) 在树上最高的权值 \(\le w\) 的祖先的子树内所有叶子，找到这个点可倍增。

他的性质比原图最小生成树的性质，要好得多。

同余最短路

问题：给定一些数 \(a_i\)，求某范围内的数有多少数可用 \(a_i\) 完全背包得出。

若 \(r\) 能被表示出，则 \(r+k\cdot a_i\) 也能被表示出，故固定一个 \(a_t=m\) 作为模数，对 \(x\in[0..m-1]\) 算最小的能被凑出的 \(p\equiv x\pmod m\) 是多少。

建图：对所有 \(i\)，\(x\to(x+a_i)\bmod m\) 连权值为 \(a_i\) 的边，跑最短路即可得出所求。

转圈做法：考虑模 \(m\) 意义下的完全背包，考虑新加入一个 \(a_i\)，显然他在长度为 \(m\) 的环上形成 \(\gcd(a_i,m)=d\) 个子环，对每个子环分别顺序转移两圈即可；或者从子环上权值最小的点开始顺序转移一圈即可（写起来不如前者简洁）。\(O(nm)\)

个人觉得转圈做法更自然。

Johnson

多源最短路，支持负边，\(O(nm\log m)\)

考虑对每个点 \(i\) 赋 \(h_i\)，令 \(w'(u,v)\gets w(u,v)+h_u-h_v\)，求出新图 \(s\to t\) 最短路后减去 \(h_s-h_t\) 即可求出原图最短路。

列出条件：\(w(u,v)+h_u-h_v\ge 0\)，即 \(h_u+w(u,v)\ge h_v\)，发现令 \(h_u\) 为 \(d_u\) 即可。

故令 \(w(S,i)=0\)，跑 SPFA（顺便判负环），改边权得新图后跑 \(n\) 次 Dijkstra 即可。

最短路树

若 \(v\) 的最短路是由 \((u,v)\) 松弛而来，则在生成树中保留 \((u,v)\)。

性质：树上 \(s\to v\) 的路径长度为 \(s\to v\) 的最短路。

最短路图

若 \((u,v,w)\) 满足 \(dis_u+w=dis_v\)，则保留这条边。

相当于对每个点 \(v\) 保留图上所有 \(s\to v\) 的最短路。

性质：

• 按 \(dis\) 定向后是个 DAG
• 他的所有生成树都是最短路树

若 \(dis(s,u)+w+dis(v,t)=dis(s,t)\)，则 \((u,v,w)\) 可以在 \(s\to t\) 的最短路上。

欧拉回路

看代码就懂了。

int tp, stk[N];
void Eul(int u) {for (int &i = cur[u]; i < (int)G[u].size(); ) Eul(G[u][i++]);stk[++tp] = u;
}Eul(s);
while (tp) cout << stk[tp--] << ' ';
cout << '\n';

• 欧拉路径：一笔画
• 欧拉回路：一笔画，起点等于终点
• 欧拉图：存在欧拉回路
• 半欧拉图：存在欧拉路径，但不是欧拉图

欧拉图判定：

• 有向图：弱连通，入度等于出度
• 无向图：连通，每个点度数为偶数

半欧拉图判定：

• 有向图：弱连通，存在两个点入度分别等于出度加一、出度减一，其余点入度等于出度
• 无向图：连通，恰好两个点度数为奇数

连通性

\(\text{low}(u)\)：\(u\) 子树内能一步走到的最小 dfn

• 边双：割边，每个点恰属于一个边双连通分量
• 点双：割点，每条边恰属于一个点双连通分量

Menger 定理：

• 边形式：使 \(u,v\) 不连通所需删去的边数最小值，等于 \(u,v\) 之间边不交的路径的数量的最大值。
• 点形式：使 \(u,v\)（不相邻）不连通所需删去的点数最小值，等于 \(u,v\) 之间点不交（不含 \(u,v\)）的路径的数量的最大值。

证明可以看 Alex-Wei 的。这个定理与最大流-最小割定理类似。

于是我们可以定义：

• 局部边连通度：使 \(u,v\) 不连通所需删去的边数最小值；
• 局部点连通度：使 \(u,v\) 不连通所需删去的点数最小值（\(u,v\) 不相邻）；
• \(k\)-边连通：\(u,v\) 边连通度 \(\ge k\)；
• \(k\)-点连通：\(u,v\) 点连通度 \(\ge k\)。

圆方树

普通圆方树是只支持仙人掌的；这里默认的圆方树是广义圆方树。

建法：若 \(\text{low}(v)\ge\text{dfn}(u)\)，说明 \(v\) 子树在栈内的部分与 \(u\) 形成了点双，新建方点并连边、弹栈直到 \(v\) 被弹出即可，注意两倍空间。

圆方树完整保留了原图的必经性。

支配树

对于有向图，若 \(s\to y\) 的所有路径均经过 \(x\)，则称 \(x\) 支配 \(y\)。

由于支配关系具有

• 传递性：若 \(x\) 支配 \(y\)、\(y\) 支配 \(z\)，则 \(x\) 支配 \(z\)。
• 自反性：\(x\) 支配 \(x\)。
• 反对称性：若 \(x\) 支配 \(y\)，\(y\) 支配 \(x\)，则 \(x=y\)。

这保证了支配是偏序关系，这让他能建出 DAG，但不够优秀。

性质：若 \(x,y\) 均支配 \(z\)，则 \(x,y\) 之间也有支配关系。

注意到这样就可以建树了：考虑支配 \(y\) 的所有点 \(D_y=\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}\)，则 \(D_y\) 内所有元素形成了全序关系，即任意两个元素之间均可比较，所有 \(x_i\) 的关系可以用一条链描述，这就是 \(y\) 的祖先链。

令 \(f(i)\) 表示 \(D_i\) 当中被其他所有点支配的 \(x_j\)，在 \(i\) 和 \(f(i)\) 之间连边，这就是支配树。

支配树用于描述有向图在给定起点时节点的必经性。

对于 DAG，我们可以 \(O((n+m)\log n)\) 求出其支配树：

按拓扑序处理，若 \(x\) 有入边 \(y_i\to x\)，则

\[ f(x)=LCA(y_1,y_2,\ldots,y_k) \]

动态更新倍增数组即可。

DAG 链剖分

若原图有若干无入度点，新建 \(1\) 向他们连边，这样只有 \(1\) 没有入度。

设 \(f(i)\) 为从 \(i\) 出发的路径条数。定义重儿子为 \(f\) 值最大的后继，这样对于任意轻边 \(i\to j\)，\(2f(j)\le f(i)\)。这可以解决部分题目，但不够优秀，我们想要 \(i\to son(i)\) 形成的是链而不是树。

设 \(g(i)\) 为 \(1\to i\) 的路径条数。设 \(i\to j\) 为重边当且仅当 \(j\) 为 \(i\) 的 \(f\) 值最大的后继，且 \(i\) 为 \(j\) 的 \(g\) 值最大的前驱。这样形成了若干条链。走一条轻边，要么 \(f\) 减半，要么 \(g\) 翻倍，故一条路径上的轻边条数为 \(\log V\) 级别，\(V\) 为总路径条数。这说明只有当路径条数不大时 DAG 链剖分才适用。

DAG 链剖分常与 SAM 结合，因为此时路径条数为 \(s\) 的本质不同子串数，为 \(O(n^2)\) 级别，且剖分后可以快速定位字符串查询相关信息。更重要的是可以通过 \(\log\) 条时间戳连续的链描述 \(s[l,r_1]\) 到 \(s[l,r_2]\) 的路径，非常有用。

Dilworth 定理

一个偏序集的最大反链大小等于其最小链覆盖。

考虑一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)。以下两个结论至少有一个成立：

• 存在一个长度为 \(\sqrt n\) 的递增序列
• 存在一个长度为 \(\sqrt n\) 的递减序列

Hall 定理

设一个二分图的两部点数为 \((x,y),x<y\)，其的一个完美匹配定义为左部 \(x\) 个点成为匹配点。

该二分图存在完美匹配的充要条件是，对于左部点的大小为 \(k\) 的任意子集 \(S\)，这些点在右部点连到的点集（也被称为 \(S\) 的邻域，记为 \(N(S)\)）大小不小于 \(k\)。

推论：一个任意二分图 \((V,E)\) 的最大匹配为

\[ |V|-\max_{S\subseteq V}\{|S|-|N(S)|\} \]

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习题会添加在这里面，附带简要题解。

题目选做

1. CF1965F Conference

Statement

二分图匹配，但是左边每个人连向的都是一段区间，\(\forall k\in[1..n_1]\)，输出从右边点选任意长度为 \(k\) 的区间和左边所有人做匹配，匹配数能达到 \(k\) 的区间的个数，\(n_1,n_2\le2\cdot10^5\).

Solution

判断右边点单个区间 \([l,r]\)，考虑 Hall 定理，设 \(N(S)\) 为右边点 \(S\) 对应的左边点集大小，\(S\) 合法当且仅当 \(|N(S)|\ge|S|\)，那么 \([l,r]\) 合法当且仅当 \(\forall S\subseteq[l,r],S\) 合法.

猜测只用判断成一段区间的 \(S\)，但是会被以下数据叉掉：

3
1 3
2 2
2 2

对于 \([1,3]\)，只有 \(\{1,3\}\) 不合法.

于是考虑处理初始的左边点的线段，发现对于 \([a,b],[a,c](b\le c)\)，把他们换成 \([a,b],[a+1,c]\) 不影响结果（\(a=b=c\) 时相当于删掉这条线段），因为对于 \(a\) 点，为了最优，他一定会选 \([a,b]\) 而非 \([a,c]\).

处理后每个人的左端点互不相同，此时找性质，发现：

• 可以只判成一段区间的 \(S\)，因为若一个不合法的 \(S\) 不是一段连续的区间，考虑将其补全成一段区间，此时他还是不合法，因为每补全一个数，\(|N(S)|\) 至多增加 \(1\)，此时有只包含这个数的区间.
• 看单调性，发现若 \([l,r]\) 不合法，\([l,r+1],[l-1,r]\) 也不合法，因为 \([l,r]\) 合法当且仅当 \(\forall S\subseteq[l,r],S\) 合法.

于是可以双指针求，对每个 \(l\) 最大的 \(r\) 使 \([l,r]\) 合法，最后差分统计即可.

Code

// LUOGU_RID: 160078999
// by:Joey_c / sto hunction orz
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define reo(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define debug fprintf(stderr,"Running %s on line %d...\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
typedef long long ll;
constexpr int N=2e5+10;int main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr);int n,m=0,nn;cin>>n,nn=n;vector<pair<int,int>>a(n+1);vector<int>buc[N];rep(i,1,n)cin>>a[i].fi>>a[i].se,m=max(m,a[i].se),buc[a[i].fi].pb(a[i].se);n=0;priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>q;rep(i,1,m){for(int j:buc[i])q.push(j);while(!q.empty()&&q.top()<i)q.pop();if(!q.empty())a[++n]=mp(i,q.top()),q.pop();}vector<int>b(m+2,0),c(m+2,0),ans(max(m,nn)+2,0);rep(i,1,n)b[a[i].fi]=1,++c[a[i].se];for(int s=0,l=m,r=m;l;--l){s+=c[l];while(r>=l&&s<r-l+1)s-=b[r--];if(r<=m)++ans[r-l+1];}reo(i,max(m,nn),1)ans[i]+=ans[i+1];rep(i,1,nn)cout<<ans[i]<<"\n";return 0;
}