等价关系
按照离散数学的等价关系叙述，集合 \(X\) 上的关系 \(R \subset (X, X)\) 如果满足
- 反身性: \((x, x) \in R, \forall x \in X\)，自己等于自己
- 对称性: 如果 \((x, y) \in R\)，则 \((y, x) \in R\)，我等于你，则你也等于我
- 传递性: 如果 \((x, y) \in R\) 且 \((y, z) \in R\)，则 \((x, z) \in R\)，我等于你且你等于他，则我等于他
这里考虑 IEEE754 中双精度浮点数（即 C 语言中的 double）相等判定，按照 C 语言中 == 判定，则它确实是等价关系，注意 0.0 == -0.0 虽然它们的二进制表示不同。
由于舍入误差，浮点数使用 == 作为相等判定条件无法满足现实中的要求。例如 0.1 + 0.2 == 0.3 是不成立的（0.1 在二进制中无限循环小数）。
因此一般用绝对误差判定：fabs(x - y) < eps 时认为“相等”，其中 eps 是一个指定的小数。显然它满足反身性和对称性，但不满足传递性：例如取 x = eps/2, y = 0, z = -eps/2。
但绝对误差判定存在另一个问题：\(x = 1.0 + 2^{53} + 1.0\) 不能被精确保存，得到的是 \(2^{53}\)，而 \(y = 2^{53} + 2\) 是被精确保存的。那么按照上述判定，它们不相等。
因此再引入相对误差的判定：fabs(x - y) < eps1 || fabs(x - y) < eps2 * fabs(x) || fabs(x - y) < eps2 * fabs(y)，其中 eps1 和 eps2 均为指定的小数且一般相等。显然它满足反身性和对称性，但不满足传递性：例如 \(x = (1 - eps2) \cdot 2^n\), \(y = 2^n\), \(z = (1 + eps2) \cdot 2^n\)。
于是有如下判定的 C 代码（仅满足反身性和对称性）
#include <math.h>
#include <float.h>int fIsEqual(double x, double y)
{double z = fabs(x - y);return z < DBL_EPSILON * 10 || z < DBL_EPSILON * 10 * fabs(x) || z < DBL_EPSILON * 10 * fabs(y);
}
- 其中
DBL_EPSILON是 1 与比 1 大的最小浮点数之间的差值，按照 IEEE754 标准值为 \(2^{-52}\) - 这里的 10 为经验值，用于误差累计后依然能判过去，另外
DBL_EPSILON * 10一定会被编译器优化成一个常量 - 返回值用 int 不用 bool 是因为 C23 才定义 bool
上述代码中需要做三次判定才能确定不相等，考虑到如果 fabs(x - y) < DBL_EPSILON * 10 * fabs(y) 时, fabs(x) 与 fabs(y) 差距较小，再判断 fabs(x - y) < DBL_EPSILON * 10 * fabs(x) 有损性能，且意义不大。
删掉中间的判定条件，并用 x 的值覆盖 z，就推出下面"优化版"（仅满足反身性，不满足对称性和传递性，假优化请勿使用！！！）
include <math.h>
include <float.h>
int fIsEqual(double x, double y)
{
x = fabs(x - y);
return x < DBL_EPSILON * 10 || x < DBL_EPSILON * 10 * fabs(y);
}
但此时当 \(x = 4503599627370487\) 且 \(y = 4503599627370497\) 时 fabs(x - y) = 10，此时 fIsEqual(x, y) 成立，但 fIsEqual(y, x) 不成立，见下图
