NOI 1.6 12
题目描述
题目给出的 \(n\) 最大可以取到 \(100\) ，即计算 \(2^{100}\) ，明显是超过 long long 的 \(2^{63}-1\)，所以需要使用高精度来计算幂次方的乘法
- 简单的高精度，即每次计算一个小整数乘上一个大整数
循环 \(n\) 次，每次对上一次的积都乘以 \(2\)
vector<int> ans = { 1 };//注意，需要对ans的第一位进行赋初值为1
for (int i = 1; i <= n; i++)ans = highdouble(ans);
然后就是简单高精度乘法的模板
vector<int> highdouble(vector<int> x) {vector<int> res;//定义返回数组int t = 0;//进位变量for (int i = 0; i < x.size(); i++) {t += 2 * x[i];//计算乘2的积res.push_back(t % 10);//取尾数放入t /= 10;}while (t) {//如果进位t还有值，就继续放入res.push_back(t % 10);t /= 10;}return res;//返回答案
}
以上的代码仅只用于大整数乘一个小整数，不能完成对两个大整数求积的操作、
简单的高精度计算的时间复杂度大约在 \(O(n^2)\) ，我们也可以使用快速幂的办法将时间复杂度优化到更低
- 快速幂高精度计算
vector<int> quickpower(int b) {//快速幂函数vector<int> res, a;//使用vector来存储数据res.push_back(1);//对res第一项继续预处理a.push_back(2);//放入底数2while (b)//快速幂模板{if (b & 1) res = highplus(res, a);//使用高精度乘法计算a = highplus(a, a);//高精度倍增计算因子b >>= 1;}return res;
}
这里的高精度乘法需要计算两个大整数的积，采用错位相乘法
vector<int> highplus(vector<int>& x, vector<int>& y) {vector<int> temp(x.size() + y.size() + 1, 0);for (int i = 0; i < x.size(); i++)for (int j = 0; j < y.size(); j++)temp[i + j] += x[i] * y[j];int t = 0;for (int i = 0; i < temp.size(); i++) {t += temp[i];temp[i] = t % 10;t /= 10;}while (t > 0) {temp.push_back(t % 10);t /= 10;}while (temp.size() > 1 && temp.back() == 0) temp.pop_back();return temp;
}
其中，将 temp 赋值一个最大长度，即两个因子的长度和加 \(1\) ，并赋初值都为 \(0\)
循环两层计算相应位置上的乘积 temp[i + j] += x[i] * y[j] （原理这里不做赘述）
最后处理进位的问题，遍历整个 temp 数组，对每一位都继续进位操作
t += temp[i];temp[i] = t % 10;t /= 10;while (t > 0) {//如果进位t还有值，就继续放入temp.push_back(t % 10);t /= 10;}
对 temp 数组去除前导 \(0\) 后返回高精度乘法的结果
经过实测，朴素的高精度乘法在规定的 \(1s\) 内最多只能计算到 \(2^{11438}\)，而采用快速幂则可以计算到 \(2^{2^{15-1}}=2^{32767}\)
是一种极大的优化方案，如果我们的底数更大的话，快速幂的优势会变得更大
完整AC代码：
朴素算法
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;int n;
vector<int> ans = { 1 };vector<int> highdouble(vector<int> x) {vector<int> res;int t = 0;for (int i = 0; i < x.size(); i++) {t += 2 * x[i];res.push_back(t % 10);t /= 10;}while (t) {res.push_back(t % 10);t /= 10;}return res;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)ans = highdouble(ans);for (int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ans[i];return 0;
}
快速幂
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;int n;vector<int> highplus(vector<int>& x, vector<int>& y) {vector<int> temp(x.size() + y.size() + 1, 0);for (int i = 0; i < x.size(); i++)for (int j = 0; j < y.size(); j++)temp[i + j] += x[i] * y[j];int t = 0;for (int i = 0; i < temp.size(); i++) {t += temp[i];temp[i] = t%10;t /= 10;}while (t > 0) {temp.push_back(t % 10);t /= 10;}while (temp.size() > 1 && temp.back() == 0) temp.pop_back();return temp;
}vector<int> quickpower(int b) {vector<int> res, a;res.push_back(1);a.push_back(2);while (b){if (b & 1) res = highplus(res, a);a = highplus(a, a);b >>= 1;}return res;
}int main()
{cin >> n;auto ans = quickpower(n);for (int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ans[i];return 0;
}
