[学习笔记] 线性筛与欧拉函数

一

线性筛主要讲下思想，埃氏筛法就是用所有质数标记所有倍数，这样的时间复杂度是 \(O(n\log n\log n)\)，有两只 \(\log\)。可是我不想要 \(\log\)，于是欧拉筛：

改进：存下质数表。对于每一个数，只标记自己与不超过自己最小质因子的数的乘积，对于质数表 \(2,3,5\)，循环到 \(i=6\) 时，只筛去 \(6\times 2=12\) 而不筛去 \(6\times 3=18\)，因为 \(18=6\times 3=2\times 3\times 3=2\times 9\)，会被 \(9\) 筛去。也就是说，枚举质数表中的质数超过 \(i\) 的最小质因子没有必要，\(i\) 的最小质因子以后会与更大的合数相乘。

这样每个数只被它的最小质因子筛去一次。时间复杂度为 \(O(n)\)。

code：

bool isprime[100010];
int prime[1010],tot=0;
memset(isprime,1,sizeof(isprime));
isprime[1]=0;
for(int i=2;i<=100000;i++)
{if(isprime[i])prime[++tot]=i;for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=100000;j++){isprime[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0)break;}
}

二

\(\varphi(n)\) 表示 \(1\sim n\) 中，与 \(n\) 互质的数的个数。

怎么求 \(\varphi(n)\) 就容斥一下就好了。令 \(ans=n\)，在 \(n\) 的所有因数中，把含有一个质因数的个数减去，把含有两个质因数的个数再加上......总之就是容斥。

那相当于这个式子：

然后按照展开式编码就可以求出单个 \(\varphi(n)\) 了。

int getPhi(int n)
{int ans=n;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){ans=ans*(i-1)/i;while(n%i==0)n/=i;}}if(n>1)ans=ans*(n-1)/n;return ans;
}

时间复杂度：\(O(\sqrt n)\)

三

积性函数：当 \(\gcd(x,y)=1\) 时，\(f(x\times y)=f(x)\times f(y)\)。

欧拉函数时积性函数，证明不会写，跳了。

讲一下欧拉函数的几个性质：

首先先把计算式挂着：

设

\[n={p_1}^{x_1}{p_2}^{x_2}{p_3}^{x_3}{p_4}^{x_4}...{p_q}^{x_q} \]

则

\[\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_q}) \]

性质一

若 \(n\) 是质数，\(\varphi(n)=n-1\)。

计算式易得。

性质二

若 \(n=p^k\)，\(\varphi(n)=(p-1)p^{k-1}\)。

计算式易得。

性质三

若 \(q\) 是质数，且 \(q\mid n\)，则 \(\varphi (nq) = q\varphi(n)\)；若 \(q\) 是质数，且 \(q\nmid n\)，则 \(\varphi(nq)=(q-1)\varphi(n)\)

计算式易得。

性质四

\[n=\sum_{d\mid n}\varphi(d) \]

证明：若 \(m\) 与 \(n\) 互质，则 \(n\)，\(m\) 之间没有相同的质因子。那么

\[\varphi(n)\times\varphi(m) \]

\[=n\times\prod^{cnt_n}_{i=1}(1-\frac{1}{p_i})\times m\times\prod^{cnt_m}_{j=1}(1-\frac{1}{p_j}) \]

\[=n\times m\times\prod_{i=1}^{cnt_n+cnt_m}(1-\frac{1}{p_i}) \]

\[=\varphi(n\times m) \]

性质五

\[\varphi(a\times b)=\varphi(a)\times\varphi(b)\times\frac{\varphi(\gcd(a,b))}{\gcd(a,b)} \]

直接分解质因数可证。

还有一些常用的积性函数：

设 \(d(n)\) 表示 \(n\) 的约数的个数，则 \(d(n)\) 是积性函数。

设 \(s(n)\) 表示 \(n\) 的所有约数的和，则 \(s(n)\) 是积性函数。

证明不想写，我懒。

所有积性函数都可以用欧拉筛在 \(O(n)\) 的时间猜出。

四

进行一个例题的讲。

回头再补累死了。