经典题。
\(\tt{Link}\)
题意
你手中有 $$\(n\)$$ 张牌。每张牌上都写着一个介于 \(1\) 和 \(m\) 之间的整数。要赢得游戏，需要组成一定数量的三元组。每个三元组由三张牌组成，这样写在牌上的数字要么全部相同，要么连续。例如， \(7, 7, 7\) 和 \(12, 13, 14\) 都是有效的三连牌，但 \(2,2,3\) 和 \(2,4,6\) 则不是。你只能用手中的牌组成三元组。每张牌最多只能组成一个三元组。
为了确定你离胜利有多近，您需要知道你手中的牌最多可以组成多少个三元组。
\(\tt{Solution}\)
注意到，对于 \(i\) 这张牌（牌上数字为 \(i\)），它选择 \((i,i + 1,i + 2)\) 与 \((i,i,i)\) 的数量是受 \(i - 1,i - 2\) 影响的，所以我们首先会有一个暴力 DP：\(f_{i,j,k}\) 表示当前选择到第 \(i\) 种牌，\(i\) 选择了 \(j\) 个 \((i,i + 1,i + 2)\)，\(i - 1\) 选择了 \(k\) 个 \((i - 1,i,i + 1)\)。
转移显然为 \(f_{i,j,k} = \max\limits_{l = 0}^{cnt_{i - 2}} f_{i - 1,k,l} + \frac{cnt_i - j - k - l}{3} + j\)。
其中 \(cnt_i\) 表示牌上数字为 \(i\) 的牌的张数。
注意到这样做的时间复杂度是 \(\mathcal{O(nm^3)}\)，完全不能通过。
有一个很好的性质是如果我们组成了 \(c(c \ge 3)\) 个形如 \((i,i + 1,i + 2)\) 的三元组，可以将其转换为 \(\lfloor \frac{c}{3} \rfloor\) 个形如 \((i,i,i)\) 的三元组，这么做一定不劣。
那么对于上面转移中的 \(j,k,l\)，只需要枚举 \([0,2]\) 即可。
然后就做完了。时间复杂度 \(\mathcal{O(3^3n)}\)。
#include <bits/stdc++.h>// #define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define vi vector<int>
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {template<class T> il void read(T &x) {x = 0; T f = 1; char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }x *= f;}template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }template<class T> il void print(T x) {if (x < 0) ptc('-'), x = -x; if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');}template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = x < (T)y ? (T)y : x; }template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = x > (T)y ? (T)y : x; }template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {T res = 1; while (b) {if (b & 1) res = res * a % p;a = a * a % p; b >>= 1;} return res;}template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;}template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) { T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y);inv = (inv + p) % p; return inv;}
} using namespace szhqwq;
const int N = 1e6 + 10,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
const db eps = 1e-6;
int n,m,a[N],cnt[N],f[N][3][3];il void solve() {//------------code------------read(n,m); rep(i,1,n) read(a[i]),++ cnt[a[i]];rep(i,1,m) rep(j,0,2) rep(k,0,2) rep(l,0,2) if (cnt[i] >= j + k + l && cnt[i - 1] >= k + l && (i == 1 || cnt[i - 2] >= l))chmax(f[i][j][k],f[i - 1][k][l] + (cnt[i] - j - k - l) / 3 + j);int ret = f[m][0][0];write(ret,'\n');return ;
}il void init() {return ;
}signed main() {// init();int _ = 1;// read(_);while (_ -- ) solve();return 0;
}
