\(常见数论函数及狄利克雷卷积与莫比乌斯反演 学习笔记\)
数论函数
数论函数指的是定义域为正整数的函数，可以视作一个数列。
积性函数与完全积性函数
在数论中，若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\)，且 \(f(xy)=f(x)f(y)\) 对任意互质的 \(x, y \in\mathbf{N}^*\) 都成立，则 \(f(n)\)为 积性函数。
在数论中，若函数 \(f(n)\) 满足 \(f(1)=1\) 且 \(f(xy)=f(x)f(y)\) 对任意的 \(x, y \in\mathbf{N}^*\) 都成立，则 \(f(n)\) 为 完全积性函数。
常见积性函数
- 单位函数：\(\varepsilon(n)=[n=1]\)。（完全积性函数）
- 恒等函数：\(\mathbf{id}_k(n)=n^k\)。其中 \(\mathbf{id}_1(n)\) 通常记作 \(\mathbf{id}(n)\)。（完全积性函数）
- 常数函数：\(\mathbf{1}(n)=1\)。（完全积性函数）
- 除数函数：\(\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k\)。\(\sigma_0(n)\) 通常记作 \(d(n)\)，\(\sigma_1(n)\) 通常记作 \(\sigma(n)\)。
- 欧拉函数：\(\varphi(n)\) 表示 \(\le n\) 中正整数中与 \(n\) 互质的数的个数。有 \(n=\sum_{d\mid n}\varphi(d)\)。
- 莫比乌斯函数：\(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&\exists d>1,d^{2}\mid n\\(-1)^{\omega(n)}&\text{otherwise}\end{cases}\)。其中 \(w(n)\) 表示 \(n\) 的本质不同质因子个数。
狄利克雷卷积
对于两个数论函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，则它们的狄利克雷卷积结果 \(h(x)\) 定义为：
上式也可以表示为 \(h=f*g\)。
狄利克雷卷积有以下性质：
- 交换律：\(f*g=g*f\)。
- 结合律：\((f*g)*h=f*(g*h)\)。
- 分配律：\((f+g)*h=(f*h)+(g*h)\)。
单位函数 \(\varepsilon\) 为狄利克雷卷积中的单位元，即对于任何数论函数 \(f\)，有 \(f*\varepsilon=f\)。类似地。对于任意一个满足 \(f(x)\neq 0\) 的数论函数，若有另一个数论函数 \(g(x)\) 满足 \(f*g=\varepsilon\)，那么 \(g(x)\) 便是 \(f(x)\) 的逆元，且这个逆元是唯一存在的。
数论函数的积性，在狄利克雷生成函数中具有封闭性。具体地：
-
两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数
-
积性函数的逆元也是积性函数
常用狄利克雷卷积
这一章的内容比较重要，建议理解并记忆。
\(\varepsilon=\mu*\mathbf{1}\)
事实上这个式子我们在莫比乌斯函数学习笔记中证明过。它是等价于 \(\sum_{d\mid n}=[n=1]\) 的。
\(d=\mathbf{1}*\mathbf{1},\sigma=\mathbf{id}*\mathbf{1}\)
这两个卷积没有那么重要，且较容易证明。
\(\mathbf{id}=\varphi*\mathbf{1},\varphi=\mu*\mathbf{id}\)
这两个卷积比较重要。第一个式子由 \(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\) 得到，对于第二个式子，考虑到 \(\mu\) 是 \(\mathbf{1}\) 的逆元，那么容易得到第二个式子。
莫比乌斯反演
其实会了上面那些东西的话这玩意并没有什么大用，但出于尊重还是写一下。
形式一：
这个玩意其实相当于有 \(f=g*\mathbf{1}\)，要证明 \(g=f*\mu\)。那么通过 \(\varepsilon=\mu*\mathbf{1}\) 就容易证得了。
形式二：
这个式子和形式一是类似的，于是略去证明。
