0x00 前言
我们都知道有个好东西叫做因式分解。它实际上就是多项式乘法的逆运算，将一个多项式分解成多个多项式的乘积。
因式分解大多都是在有理数域内分解的，但是也有在实数域和复数域内分解的，比如下面两个例子：
\(x^2-3\)，该式在有理数域内显然为既约多项式。但是如果我们引入实数域内的根式，我们就可以得到一下结果：
\(x^2-3=(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)\)。
再来看\(x^2+2x+1+y^2\)，该式显然无法在有理数域和实数域内分解。但是当我们引入虚数单位\(i\)，我们就可以得到：\(x^2+2x+1+y^2=(x+1+iy)(x+1-iy)\)。
可以看到，因式分解是一个很好玩的东西。那它和分式计算有什么关系呢？
0x01 正文
分式，是指分母有未知数的式子。比如下面这些都是分式：
\(\dfrac{1}{x},\dfrac{x^2+y^2}{x^3+9x^2+x+9}\)
各种各样的。
那我们来看一个分式的计算题：
\(\dfrac{a-1}{a+2}\times\dfrac{a^2-4}{a^2-2a+1}\div\dfrac{1}{a^2-1}\)
如果你不会一点因式分解，也不知道什么平方公式，单独看这个你会感到非常麻烦，因为看似这坨东西非常无厘头，还好是乘法，如果这是加减法那么将更加复杂。
但是，如果我们做一点点只是铺垫呢？
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)和\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
那么我们就会发现这个式子中有很多东西可以进行分解，可以分成这样：
\(\dfrac{a-1}{a+2}\times\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)(a-1)}\times(a+1)(a-1)\)
注：有的平方我展开了为了更加好看约分
这样一看，嗯，不错，整个式子都清爽不少了。约分试试，可以发现最后只剩下了两个一次因式的乘积：\((a-2)(a+1)\)
