【持续更新】【专题】初等数论

【持续更新】【专题】初等数论

Designed By：FrankWkd 【100%原创】【禁止搬运】

Updated at 2025.01.26

前言：

• 主要从线性筛开始速通初等数论
• 尽可能的多证明结论而不是阐述结论。如果你只是想回顾结论，请看其他人的 \(Blog\) .

一、基础概念

• 整除：对于两个正整数 \(a,b\), 存在一个数 \(k\) ,使得 \(a=bk\)，则称 \(b\) 整除 \(a\).记作 \(b\ |\ a\).
• 带余除法：对于两个正整数 \(a,b\), 存在两个数 \(k,r\) ,使得 \(a=bk+r\)，则称 \(b\) 除 \(a\) 商 \(k\) 余 \(r\).(\(b\div a=k\dots r\))
• 因数：能整除一个数的数被称为这个数的因数.
• 公因数：两个数共同具有的因数被称为这两个数的公因数。
• 质数：只有 \(1\) 喝和它本身的数被称为质数。\(2\) 是质数。
• 质因子：一个数的质因数（既是它的因数也是质数的数）被称为质因子。
• 算术基本定理：一个数能表示成其若干个质因数的乘积（类似于分解质因数的逆运算）。

二、基础算法

• 因数分解：分解出正整数 \(x\) 的所有因子。
  • 复杂度：\(O(\sqrt n)\)
• 埃氏筛：快速筛出 \(1-n\) 中所有的素数。
  • 复杂度：\(O(nloglogn)\)
• 质因数分解：快速分解出 \(n\) 的所有质因子。
  • 复杂度：\(O(\sqrt{n})\)
• 欧几里得算法：快速求出两个数 \(a,b\) 的最小公约数( \(gcd\) ).
  • 核心公式：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\).

三、Euler欧拉筛(线性筛)

关于线性筛

• 一种基于埃氏筛的高效筛法。
• 时间复杂度 \(O(n)\)。
• 保证每一个素数只被其最小质因子筛除。
• 每个素数只是被筛除一次。
  让我们一个一个地证明这些结论：

证明

注：请结合代码理解。

void getprime() {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!vis[i]) p[++k] = i;//k为素数个数for (int j = 1; j <= k and i * p[j] <= n; j++) {vis[i * p[j]] = 1;if (i % p[j] == 0) break;}}
}

• 1. 为什么这样写呢？怎么保证每个合数都被无遗漏地筛除呢？
  • 设一合数为 \(x\) ，因为它是合数，所以它一定能表示为 \(x=pi\) 的形式（一个合数可以分解成两个数的乘积）。
  • 我们令 \(p\) 为 \(x\) 的最小质因子。
  • 现在请看代码，可知：当 \(i\ mod\ p=0\) 时循环立即中断。通俗的理解就是：当 \(i\) 是 \(p\) 的倍数时，循环直接 \(break\).
  • 那么，让我们回归到程序，第二层循环遍历的是所有已经筛出来的质数，由程序可得：只要有一个数符合循环 \(break\) 的标准，循环就中断了。
  • 符合循环 \(break\) 标准的质数肯定是一个小于 \(p\) 且是 \(i\) 因数的质数，对吧？
  • 既然这个数是 \(i\) ,的质因子，\(i\) 又是 \(x\) 的因子，这个数就是 \(x\) 的质因子。
  • 因为 \(p\) 是 \(x\) 的最小质因子，没有比它更小的质因子了，所以第二层循环中不可能再出现比 \(p\) 小而且是 \(x\) 的质因子的数了。
  • 所以 \(x\) 一定能被筛到。
  • 得证（反证法，不是特别严谨，有问题或疑问请评论或私信）。
• 2. 那又如何保证每一个数只被其最小质因子筛一次呢？
  • 我们设将要被筛除的合数为 \(x\) ，将其分解为 \(x=py=qz\) 的形式。
  • 其中，\(p\) 是 \(x\) 的最小质因子，\(q\) 是 \(x\) 的另一个质因子（比 \(p\) 大）
  • 接下来让我们再次分解: \(x=pqk\)，\(p,q\) 就是上面的 \(p,q\) ，\(k\) 为使得上面式子成立的数.
  • 那么现在有：
  \[x=p(qk) \]
  \[x=q(pk) \]
  • 我们设 \(y=qk\), \(z=pk\), 我们不难得到：\(z\) 中一定含有质因子 \(p\) 。而且 \(p<q\) 。
  • 当 \(i\) 枚举到 \(z\) 、\(j\) 枚举到 \(p\) 时，\(i\ mod\ j=0\) 会先一步成立，所以 \(j\) 不会再往下面枚举到 \(q\) ，从而避免了枚举到 \(py=x\) 之后又枚举到 \(qz=x\) ,造成重复计算.而且每个合数仅仅被其最小质因子（也就是 \(p\)）筛除.
  • 让我们举个栗子：
    • 1. 要筛除的合数 \(x\) 是 \(35\)
    • 2. 最小质因子 \(p\) 是 \(5\)
    • 3. 质因子 \(q\) 是 \(7\)
    • 4. \(35\) 可以写成 \(35=5*7=7*5(x=py=qz)\) 的形式。
    • 5. \(35\) 还可以写成 \(35=5*7*1(x=pqk)\) 的形式。
    • 6. 由第五步中的式子转化为：\(35=5*(7*1)=7*(5*1)(x=py=qz)\) 的形式。
    • 7. 由第四步可知：\(y=7,z=5\).
    • 8. 由第六步可知：\(y=7*1,z=5*1\).
    • 9. 那么，\(z\) 中含有 \(p\) 的时候就会 \(break\),刚好是在筛出 \(35\) 这个合数之后，以保证不会再往下筛，从而避免一个数被筛多次的情况。
• 3. 为什么复杂度是线性( \(O(n)\) )的？
  • 因为每个质数只会被记录一次，每个合数只是会被筛除一次，但是埃氏筛会将每个合数筛 \(loglogn\) 次（ \(O(nloglogn)\) ），这就是欧拉筛（线性筛）为什么复杂度是 \(O(n)\) 的原因。

例题：

• 洛谷 B3716 质因子分解3
  • 题面描述：\(T\) 组数据。每次给定一个整数 \(n\)，求 \(n\) 所有质因子的按位异或和.
  • 数据范围：\(1\le T\le 10^5,2\le N\le 10^8\)
  • 思路：如果每次把 n 都除以自己的最小质因子，那么可以 \(O(log n)\) 完成一次质因子分解。
    如何求出最小质因子?
    在线性筛的时候，每个数都被自己的最小质因子筛掉。所以我们只要在当一个数被筛的时候记录筛掉它的数即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e8 + 5;
bitset <N> vis;
int mn[N];
int p[N / 10];
void getprime() {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!vis[i])p[++k] = i, mn[i] = i;for (int j = 1; j <= k && i * p[j] <= n; j++) {vis[i * p[j]] = 1;mn[i * p[j]] = p[j];if (i % p[j] == 0)break;}}
}
int main() {int T, n;cin >> T;while (T--) {cin >> n;int ans = 0;while (n > 0) ans ^= nm[n], n /= nm[n];cout << ans << '\n';}
}

四、欧几里得定理及其扩展&裴蜀定理

欧几里得定理（\(gcd\)）

定理

• 先放定理：设 \(a,b\) 是两个整数，且 \(b \neq 0\)，则 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\)。
• 时间复杂度：\(O(log\ min(a,b))\)

前置知识

• 模运算( \(\%\) ): 相信你学习到这里已经掌握了几乎所有模运算性质，这里我们只需使用到一个，即：

  • \[a\ mod\ b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]

  • \[a=a\ mod\ b+\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]

  • 为什么是这样呢？
  • 这里的 \(\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\) 就是 \(a\div b\) 所得的整数商。将 \(a\) 减去这个值所得的就是 \(a\div b\) 所得的余数。也就是 \(a\ mod\ b\) 。
  • 我们举例说明：

    • \[10\%3=10-\left \lfloor \frac{10}{3} \right \rfloor \times 3 \]

    • \[10=10\%3(余数部分)+\left \lfloor \frac{10}{3} \right \rfloor \times 3(整数商) \]

证明

下面开始证明（汗流浃背

• 设 \(d=gcd(a,b)\) ,则 \(d\) 能整除 \(a,b\), 即：

  • \[d|a\ \ d|b \]

• 可以写成：

  • \[a=k_1d,b=k_2d\ (k_1,k_2\in \mathbb {Z(整数)}) \]

• 根据前置知识，\(a\%b\) 可以写成：

  • \[a\%b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]

• 将 \(a=k_1d,b=k_2d\) 带入得：

  • \[a\%b=k_1d-\left \lfloor \frac{k_1d}{k_2d} \right \rfloor \times k_2d \]

• 根据分数线的性质消元得：

  • \[a\%b=k_1d-\left \lfloor \frac{k_1}{k_2} \right \rfloor \times k_2d \]

• 设 \(q=\left \lfloor \frac{k_1}{k_2} \right \rfloor\) ，并将其带入得：

  • \[a\%b=k_1d-qk_2d \]

• 提出公因数 \(d\) 可得：

  • \[a\%b=(k_1-qk_2)d \]

• 因为 \(k_1,k_2\) 被定义为整数，且 \(q\) 已经经过了向下取整，所以 \(q\) 也是整数，故 \(k_1+qk_2\) 也是整数。
• 立得： \(d\) 整除 \(a\ mod\ b\) .
• 所以 \(d\) 既是 \(a,b\) 的最大公约数，也是 \(b,a\ mod\ b\) 的公约数。
• 反过来，设 \(d'=gcd(b,a\ mod\ b)\), 则 \(d'\) 整除 \(b,a\ mod\ b\) .
• 由前置知识得： \(a=a\ mod\ b+\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\)
  • 因为： \(d'\) 整除 \(a\ mod\ b,b\)，
  • 所以： \(d'\) 整除 \(a\ mod\ b,\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\)，
  • 所以 \(d'|a\). (\(d'\) 整除 \(a\)).
• 所以：\(d'\) 整除 \(a,b\) .
• 整合
  • 因为 \(d\) 是 \(a,b\) 的最大公因数，而 \(d'\) 只是 \(a,b\) 的公因数，不难得到：\(d'\le d\)；
  • 因为 \(d'\) 是 \(b,a\ mod\ b\) 的最大公因数，而 \(d\) 只是 \(b,a\ mod\ b\) 的公因数，不难得到：\(d\le d'\)；
• 综上所述：

  • \[\left\{\begin{matrix}d\le d'\\d'\le d\end{matrix}\right. \]

  • 该方程的解为：\(d=d'\)
• 即：

  • \[gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b) \]

  • 当 \(b=0\) 时，\(gcd(a,b)=a\) ,因为 \(b\) 除以任何数都是 \(0\) ，那这个时候的最大公约数就理所应当的成为了 \(a\), 满足：\(a|a,b(0)|a\)。
• 我们只需要逐渐递归求解 \(gcd\) 即可，递归的终止条件为 \(b=0\) ，那时只需 \(return\ a\) 即可。

裴蜀定理

定理

先放定理：设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax + by=gcd(a,b)\)。

证明

请确保您已经理解 \(gcd\) 及其前置知识&证明。

• 当 \(b=0\) 时，由上面的证明可得：

  • \[gcd(a,b)=a \]

• 这时，\(x=1,y=0\) 显然满足 \(ax + by=gcd(a,b)\)。

---

• 我们假设对于 \(b,a\ mod\ b\)，裴蜀定理成立，即存在整数 \(x_1,y_1\)，满足

  • \[bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]

• 由模运算的性质（ \(gcd\) 的前置知识）可得：

  • \[a\ mod\ b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b \]

• 将其带入得：

  • \[bx_1+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)y_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]

• 拆括号得：

  • \[bx_1+ay_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]

• 移项得：

  • \[ay_1+bx_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]

• 合并同类项可得：

  • \[ay_1+(x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1)b=gcd(b,a\ mod\ b) \]

• 由 \(gcd\) 的证明可得: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\).
• 带入得：

  • \[ay_1+(x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1)b=gcd(a,b) \]

• 令：

  • \[x=y_1,y=x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1 \]

• 就找到了满足条件的 \(x,y\) 。
• 由数学归纳法可知，裴蜀定理对于任意不全为零的整数 \(a,b\) 都成立。
• 证毕。

扩展欧几里得算法（\(exgcd\)）

提示：扩展欧几里得算法是一种使用程序求解问题的算法，不是定理！

目标

目标：由 \(gcd\) 和裴蜀定理求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的一组整数解。

做法

• 请确保您已经理解裴蜀定理的证明！
• 现在有方程 \(ax+by=gcd(a,b)\) ，求该方程的一组解。
• 由裴蜀定理可知，当 \(b=0\) 时，该方程的解为 \(x=1,y=0\)
• 根据裴蜀定理的结论可知：

  • \[x = y_1,y = x_1 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1 \]

• 这样就得到了满足 \(ax + by = gcd(a, b)\) 的整数 \(x\) 和 \(y\)。
• 由裴蜀定理可知，\(x_1,y_1\) 是 \(bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,a\ mod, b)\) 的解。只要再次递归求解该方程即可。
• 详情见程序流程图：(绘图工具：draw.io)