莫队闲话

一般来说，莫队是一种比较优雅的暴力了……
说优雅一般分为两方面，一方面，莫队的时间复杂度是 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\)，这种时间复杂度一般不是最优解，但是能过，所以是暴力中的王子。
另一方面，莫队用途真的很广，我的老师曾说过：字符串、数论等等，如果你想用莫队做，都是可以做的。
然后他就举了一个例题。

给你 \(T\le 10^5\) 组数据，然后给你 \(n,m\le 10^5\)，问你 \(\sum\limits_{i=0}^m\binom{n}{i}\)。
我想了半天，告诉老师可以分块，然后老师说分块和莫队差不多，然后我们展开了1h的辩论。
老师给我讲了精彩的莫队算法。
设 \(S_{n,m}=\sum\limits_{i=0}^m \binom{n}{i}\)。
则 \(S_{n,m}=S_{n,m-1}+\binom{n}{m}\)。
众所周知，莫队需要两个指针 \(l,r\) 的变动，那么有了 \(m\) 的变动，\(n\) 呢？
然后老师用惊人的观察力告诉我了一个显然的式子：

\[\begin{aligned} & \because \binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\\\ & \therefore S_{n,m}=\binom{n}{0}+\cdots+\binom{n}{m}\\\ &=\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}+\cdots+\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m-1}\\\ &=S_{n-1,m}+S_{n-1,m-1}\\\ &=2S_{n-1,m}-\binom{n-1}{m} \end{aligned} \]

此题终，复杂度 \(\mathcal O(n\sqrt{n})\)。