2025 Feb

Question 1. 「JOISC 2018 Day 4」糖

给定一个长度为 \(N\) 的非负整数序列 \(A\)，我们称 \(S\) 是 \(A\) 的独立集仅当 \(S\) 满足如下条件：

• \(S\) 的所有元素在 \([1,N]\) 之间。
• 不存在正整数 \(x\)，使得 \(x,x+1\) 都在 \(S\) 中。
• 记 \(V(S)\) 表示 \(S\) 中所有元素 \(x\) 的 \(A_x\) 的和。

已知 \(S\) 的大小最大为 \(K = \Big\lceil{\dfrac{N}{2}}\Big\rceil\)，那么对于 \([1,K]\) 内的所有 \(i\) 求 \(|S| = i\) 时 \(V(S)\) 的最大值。

\(N\leq 2\times 10^5, A_i\leq 10^9\)

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考虑暴力，有一个很显然的 DP 做法，就是 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个元素中选择了 \(j\) 个时 \(V(S)\) 的最大值，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(N^2)\)。

但是这个 DP 做法非常难以优化，我们考虑换一种做法——反悔贪心。

假设选择了 \(A_x\)，将 \(A_{x-1}, A_x, A_{x+1}\) 从中剔除，并将 \(A_{x-1} + A_{x+1} - A_x\) 加入到原先 \(x\) 的位置当中。如果接下来选中了这个元素，等价于把 \(A_x\) 从选择中踢出，然后将 \(A_{x-1}, A_{x+1}\) 加入到选择中来，按照这个步骤，每次找出当前的最大值即可，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(N^2)\)。

这个做法就有非常大的优化空间，考虑使用 STL 快速维护当前的序列局面即可，时间复杂度降为 \(\mathcal{O}(N\log_2 N)\)，可以通过。